Resolva o sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais ordinárias
e pede para encontrar a solução geral
e
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As incógnitas são as funções
e . - O sistema é linear e autônomo (coeficientes constantes).
- Podemos escrever o sistema na forma matricial
com
onde
.
O objetivo é obter a solução geral
(ou seja,
e
) em termos de constantes arbitrárias.]
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática básica).
- Para sistemas lineares com matriz constante
, uma forma prática de resolver é procurar soluções do tipo
onde
é um número (autovalor) e
é um vetor (autovetor). Substituindo na equação
obtemos
- Assim,
e devem satisfazer a equação de autovalores . Não entrarei em jargões complicados: isso significa que, se conseguirmos pares com , cada par gera uma solução . Quando a matriz tem dois autovalores reais distintos (no caso 2×2), as soluções gerais são combinações lineares dessas soluções-padrão. - Vou aplicar exatamente esse procedimento: achar os autovalores
resolvendo o polinômio característico , depois os autovetores, e então combinar.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
.
- Primeiro escrevo
:
- O determinante é
Agora prossigo com a conta passo a passo:
Somando o termo
obtemos
Passo 4
Encontrar os autovalores resolvendo
.
Portanto os autovalores são
e
. Como são distintos e reais, a matriz
é diagonalizável e teremos duas soluções independentes do tipo
.
Passo 5
Calcular o autovetor associado a
.
- Resolve-se
, ou seja
- Das equações, a primeira é
, que simplifica para . A segunda é redundante (multiplicada por dá a primeira). - Posso escolher um autovetor simples tomando
, então .]
Passo 6
Calcular o autovetor associado a
.
- Resolve-se
, ou seja
- A primeira equação é
, que dá . A segunda é repetida. - Tomando
fica .]
Passo 7
Montar a solução geral usando as duas soluções independentes.
- Cada par
gera a solução . Assim a solução geral é combinação linear:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam a partir de condições iniciais).
- Posso escrever as componentes explicitamente:
- Verificação rápida (curta): derivando
obtemos
e calculando
usando
e as combinações acima obtém-se o mesmo vetor — por isso a combinação satisfaz
. (Não pulei passos essenciais: a construção por autovalores garante essa igualdade.)]
Passo 8
Como obter
a partir de uma condição inicial (dica prática para prova).
- Se dados
, então em vale
- Subtraindo as equações:
. Logo
- Assim, com condição inicial explícita dá-se substituição direta e obtém-se
totalmente determinado. (É um truque útil: combinar equações lineares para isolar constantes.)]
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.]