Utilizando o desenvovimento em série, obtenha um valor aproximado de:
e, com erro inferior a 10^{-5}

Passo 1

O que o enunciado pede: obter um valor aproximado de e (a constante de Euler) usando desenvolvimento em série, de modo que o erro absoluto da aproximação seja menor que 10^{-5}.
Informações dadas/assumidas: podemos usar o desenvolvimento em série (Maclaurin) de e^x e avaliar em x=1 para obter e. Não começo a resolver ainda — só enumerei o pedido e a condição de erro.

Passo 2

Vamos escrever a série que representa e^x. A série de Maclaurin (desenvolvimento em série em torno de 0) para e^x é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Aqui cada termo é \dfrac{x^{n}}{n!}; n! (fatorial) é n!=1\cdot2\cdot3\cdots n e por convenção 0!=1. Por que esta série? Porque a derivada de e^x é e^x e a série cujas derivadas em 0 coincidem gera exatamente esses coeficientes \frac{1}{n!}. (Não precisamos provar tudo detalhadamente agora; aceite que essa é a série conhecida de e^x.)

Passo 3

Especializando em x=1 obtemos a série para e:
e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots.
Definimos a soma parcial de ordem N por
S_{N}=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}
e o resto (erro) após N termos por
R_{N}=e-S_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}.
Nosso objetivo é escolher N tal que R_{N}<10^{-5}.

Passo 4

Precisamos de uma cota (limite superior) para R_{N} fácil de calcular sem conhecer e previamente. Observe que, para k\ge 0,
(N+1+k)!=(N+1)!\,(N+2)(N+3)\cdots(N+1+k)\ge (N+1)!(N+2)^{k},
porque cada fator (N+2),(N+3),\dots é pelo menos (N+2). Assim
\frac{1}{(N+1+k)!}\le \frac{1}{(N+1)!}\cdot\frac{1}{(N+2)^{k}}.
Escrevendo o resto como soma indexada por k\ge0 (com n=N+1+k) temos
R_{N}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(N+1+k)!}\le \frac{1}{(N+1)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(N+2)^{k}}.
A soma geométrica é \sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\dfrac{1}{1-r} para 0<r<1. Aqui r=\dfrac{1}{N+2}, então
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(N+2)^{k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{N+2}}=\frac{N+2}{N+1}.
Portanto obtemos a cota prática
\boxed{\,R_{N}\le \frac{1}{(N+1)!}\cdot\frac{N+2}{N+1}\,}.
Isto nos dá um critério numérico: se \dfrac{N+2}{(N+1)!\,(N+1)}<10^{-5} então R_{N}<10^{-5}.

Passo 5

Vamos testar valores de N crescendo até que a cota seja menor que 10^{-5}.
Calculemos rapidamente alguns fatoriais e a cota:
  • Para N=6: (N+1)! = 7! = 5040. A cota é
    R_{6}\le \frac{6+2}{7!\cdot(6+1)}=\frac{8}{5040\cdot7}=\frac{8}{35280}\approx 2{,}267\times10^{-4}.
    Ainda maior que 10^{-5}.
  • Para N=7: (N+1)! = 8! = 40320. A cota é
    R_{7}\le \frac{7+2}{8!\cdot(7+1)}=\frac{9}{40320\cdot8}=\frac{9}{322560}\approx 2{,}79\times10^{-5}.
    Ainda maior que 10^{-5}, mas bem próximo.
  • Para N=8: (N+1)! = 9! = 362880. A cota é
    R_{8}\le \frac{8+2}{9!\cdot(8+1)}=\frac{10}{362880\cdot9}=\frac{10}{3265920}\approx 3{,}06\times10^{-6}.
    Agora a cota é menor que 10^{-5}. Portanto N=8 já garante R_{8}<10^{-5}.
Concluímos que somando até n=8 (ou seja, calculando S_{8}) obtemos uma aproximação com erro menor que 10^{-5}.

Passo 6

Calculemos S_{8}=\displaystyle\sum_{n=0}^{8}\frac{1}{n!} termo a termo (vou escrever cada termo e a soma parcial):
\begin{aligned} \frac{1}{0!}&=1,\\[4pt] \frac{1}{1!}&=1,\\[4pt] \frac{1}{2!}&=\tfrac{1}{2}=0{,}5,\\[4pt] \frac{1}{3!}&=\tfrac{1}{6}\approx 0{,}1666666667,\\[4pt] \frac{1}{4!}&=\tfrac{1}{24}\approx 0{,}04166666667,\\[4pt] \frac{1}{5!}&=\tfrac{1}{120}\approx 0{,}008333333333,\\[4pt] \frac{1}{6!}&=\tfrac{1}{720}\approx 0{,}001388888889,\\[4pt] \frac{1}{7!}&=\tfrac{1}{5040}\approx 0{,}0001984126984,\\[4pt] \frac{1}{8!}&=\tfrac{1}{40320}\approx 0{,}00002480158730. \end{aligned}
Somando passo a passo:
\begin{aligned} S_{0}&=1,\\\ S_{1}&=2,\\\ S_{2}&=2{,}5,\\\ S_{3}&\approx 2{,}6666666667,\\\ S_{4}&\approx 2{,}70833333337,\\\ S_{5}&\approx 2{,}716666666703,\\\ S_{6}&\approx 2{,}718055555592,\\\ S_{7}&\approx 2{,}7182539682904,\\\ S_{8}&\approx 2{,}7182787698777. \end{aligned}
Portanto S_{8}\approx 2{,}7182787698777. Pelo passo anterior sabemos que o erro R_{8}=e-S_{8}<3{,}06\times10^{-6}<10^{-5}.]

Passo 7

Verificação final e incentivo: somando os nove termos de n=0 a n=8 obtemos uma aproximação cujo erro está abaixo do exigido. Mandou bem por escolher desenvolvimento em série — a constante converge rápido!

Resposta

\,2{,}7182787698777

Exercícios relacionados