Utilizando o desenvovimento em série, obtenha um valor aproximado de:
, com erro inferior a
Passo 1
O que o enunciado pede: obter um valor aproximado de
(a constante de Euler) usando desenvolvimento em série, de modo que o erro absoluto da aproximação seja menor que
.
Informações dadas/assumidas: podemos usar o desenvolvimento em série (Maclaurin) de e avaliar em
para obter
. Não começo a resolver ainda — só enumerei o pedido e a condição de erro.
Informações dadas/assumidas: podemos usar o desenvolvimento em série (Maclaurin) de
Passo 2
Vamos escrever a série que representa
. A série de Maclaurin (desenvolvimento em série em torno de
) para
é
Aqui cada termo é
;
(fatorial) é
e por convenção
. Por que esta série? Porque a derivada de
é
e a série cujas derivadas em
coincidem gera exatamente esses coeficientes
. (Não precisamos provar tudo detalhadamente agora; aceite que essa é a série conhecida de
.)
Passo 3
Especializando em
obtemos a série para
:
Definimos a soma parcial de ordem
por
e o resto (erro) após
termos por
Nosso objetivo é escolher
tal que
.
Passo 4
Precisamos de uma cota (limite superior) para
fácil de calcular sem conhecer
previamente. Observe que, para
,
porque cada fator
é pelo menos
. Assim
Escrevendo o resto como soma indexada por
(com
) temos
A soma geométrica é
para
. Aqui
, então
Portanto obtemos a cota prática
Isto nos dá um critério numérico: se
então
.
Passo 5
Vamos testar valores de
crescendo até que a cota seja menor que
.
Calculemos rapidamente alguns fatoriais e a cota:
-
Para
: . A cota é Ainda maior que. -
Para
: . A cota é Ainda maior que, mas bem próximo. -
Para
: . A cota é Agora a cota é menor que. Portanto já garante .
Concluímos que somando até
(ou seja, calculando
) obtemos uma aproximação com erro menor que
.
Passo 6
Calculemos
termo a termo (vou escrever cada termo e a soma parcial):
Somando passo a passo:
Portanto
. Pelo passo anterior sabemos que o erro
.]
Passo 7
Verificação final e incentivo: somando os nove termos de
a
obtemos uma aproximação cujo erro está abaixo do exigido. Mandou bem por escolher desenvolvimento em série — a constante converge rápido!