Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções:
(b) a função sinc (sen t)/t.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier da função f(t)=\dfrac{\sin t}{t}.
Informações dadas:
A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f(t)=\dfrac{\sin t}{t} para t\neq0 e f(0)=1 (valor por continuidade).
A tarefa é calcular a transformada de Fourier (a expressão em função da frequência) dessa função.
Passo 2
Primeiro vou fixar a convenção de transformada de Fourier que vou usar — é essencial porque o resultado depende da convenção. Vou usar a convenção padrão sem fatores em frente às integrais:
F(\omega) é a transformada de f no domínio de frequência.
Escolhi essa convenção porque é a mais comum em cursos de análise de Fourier e facilita escrever os pares conhecidos; se a sua prova usar outra convenção (com 2\pi em frente ou sinais diferentes), o enunciado normalmente especifica — como não especificou, essa é uma escolha natural.
onde \delta é a delta de Dirac (a distribuição que “seleciona” o valor quando integrada). Intuitivamente, isso diz que a integral é zero para \omega\neq s e concentra-se no ponto \omega=s. Substituindo:
A integral de \delta(\omega-s)\) em \(s\) sobre o intervalo \([-1,1]\) vale:
- \(1\), se \(\omega\in(-1,1)\),
- \(0\), se \(\omega\notin[-1,1]\),
- e, no sentido das distribuições, vale \(\tfrac{1}{2}\) em \(\omega=\pm1\) se usarmos a média dos lados (valor de contorno). Portanto:
\[F(\omega)=\begin{cases} \pi, & \text{se }|\omega|<1,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & \text{se }|\omega|=1\\ (\text{valor de contorno}),\\[4pt] 0, & \text{se }|\omega|>1. \end{cases}
Na prática e em quase todas as aplicações, escreve-se simplesmente que F(\omega)=\pi\] para \(|\omega|<1 e F(\omega)=0 para |\omega|>1. Os valores pontuais em \omega=\pm1 não alteram integrais e são irrelevantes na maioria dos usos.]
Passo 7
Uma forma compacta e muito usada para expressar o resultado é com a função retangular \operatorname{rect}\). Definindo
\[\operatorname{rect}(x)=\begin{cases} 1, & |x|<\tfrac{1}{2},\\[3pt] \dfrac{1}{2}, & |x|=\tfrac{1}{2},\\[3pt] 0, & |x|>\tfrac{1}{2}, \end{cases}
onde \mathbf{1}_{|\omega|<a} é a função indicadora do intervalo (-a,a). Ou seja, \dfrac{\sin(a t)}{t} transforma-se na caixa (retângulo) de largura 2a e altura \pi. Essa propriedade é ótima para lembrar e usar em provas: escala no tempo ↔ escala na frequência, e sinc gera rect.