Determine as transformadas de Fourier das seguintes funções:
(b) a função sinc (sen t)/t.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier da função f(t)=\dfrac{\sin t}{t}.
Informações dadas:
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f(t)=\dfrac{\sin t}{t} para t\neq0 e f(0)=1 (valor por continuidade).
  • A tarefa é calcular a transformada de Fourier (a expressão em função da frequência) dessa função.

Passo 2

Primeiro vou fixar a convenção de transformada de Fourier que vou usar — é essencial porque o resultado depende da convenção. Vou usar a convenção padrão sem fatores em frente às integrais:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui:
  • t é a variável do tempo (ou domínio),
  • \omega é a frequência angular (rad/s),
  • F(\omega) é a transformada de f no domínio de frequência.
    Escolhi essa convenção porque é a mais comum em cursos de análise de Fourier e facilita escrever os pares conhecidos; se a sua prova usar outra convenção (com 2\pi em frente ou sinais diferentes), o enunciado normalmente especifica — como não especificou, essa é uma escolha natural.

Passo 3

Uma identidade útil (e simples de demonstrar) é
\int_{-1}^{1} e^{i s t}\,ds = \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{i t} = \frac{2\sin t}{t}.
Vou mostrar passo a passo:
  • Calcule a integral pela primitiva: \displaystyle\int e^{i s t}\,ds = \frac{e^{i s t}}{i t} (mantendo t fixo).
  • Avaliando entre s=-1 e s=1:
\int_{-1}^{1} e^{i s t}\,ds = \left.\frac{e^{i s t}}{i t}\right|_{s=-1}^{1} = \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{i t}=\frac{2\sin t}{t}.
Assim obtemos a representação integral
\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{i s t}\,ds,
válida para todo t (o caso t=0 é obtido por continuidade: limite é 1).

Passo 4

Agora uso essa representação para calcular a transformada:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{i s t}\,ds\right)e^{-i\omega t}\,dt.
Posso (formalmente, e de forma justificada em teoria das distribuições) trocar a ordem das integrais:
F(\omega)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\omega - s)t}\,dt\right) ds.

Passo 5

A integral interna em t é a transformada de Fourier da função constante 1 (ou, visto como distribuição),
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\omega - s)t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega - s),
onde \delta é a delta de Dirac (a distribuição que “seleciona” o valor quando integrada). Intuitivamente, isso diz que a integral é zero para \omega\neq s e concentra-se no ponto \omega=s. Substituindo:
F(\omega)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} 2\pi\,\delta(\omega - s)\,ds = \pi\int_{-1}^{1}\delta(\omega - s)\,ds.

Passo 6

A integral de \delta(\omega-s)\) em \(s\) sobre o intervalo \([-1,1]\) vale: - \(1\), se \(\omega\in(-1,1)\), - \(0\), se \(\omega\notin[-1,1]\), - e, no sentido das distribuições, vale \(\tfrac{1}{2}\) em \(\omega=\pm1\) se usarmos a média dos lados (valor de contorno). Portanto: \[F(\omega)=\begin{cases} \pi, & \text{se }|\omega|<1,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & \text{se }|\omega|=1\\ (\text{valor de contorno}),\\[4pt] 0, & \text{se }|\omega|>1. \end{cases}
Na prática e em quase todas as aplicações, escreve-se simplesmente que F(\omega)=\pi\] para \(|\omega|<1 e F(\omega)=0 para |\omega|>1. Os valores pontuais em \omega=\pm1 não alteram integrais e são irrelevantes na maioria dos usos.]

Passo 7

Uma forma compacta e muito usada para expressar o resultado é com a função retangular \operatorname{rect}\). Definindo \[\operatorname{rect}(x)=\begin{cases} 1, & |x|<\tfrac{1}{2},\\[3pt] \dfrac{1}{2}, & |x|=\tfrac{1}{2},\\[3pt] 0, & |x|>\tfrac{1}{2}, \end{cases}
temos
F(\omega)=\pi\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{2}\right),
pois \operatorname{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right)=1\] para \(|\omega|<1 e 0 para |\omega|>1.]

Passo 8

Comentário didático e generalização (útil para a prova): essa relação é a famosa correspondência “sinc ↔ rect”. Uma generalização útil é:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(a t)}{t}\right\}(\omega)=\pi\,\mathbf{1}_{|\omega|<a}(\omega),
onde \mathbf{1}_{|\omega|<a} é a função indicadora do intervalo (-a,a). Ou seja, \dfrac{\sin(a t)}{t} transforma-se na caixa (retângulo) de largura 2a e altura \pi. Essa propriedade é ótima para lembrar e usar em provas: escala no tempo ↔ escala na frequência, e sinc gera rect.

Resposta

\displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,e^{-i\omega t}\,dt= \begin{cases} \pi, & \text{se }|\omega|<1,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2}, & \text{se }|\omega|=1,\\[4pt] 0, & \text{se }|\omega|>1, \end{cases}
\displaystyle
ou, de forma compacta, \displaystyle F(\omega)=\pi\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{2}\right).]

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