Utilizando o exercício 1 , determine a única função y=y(x), x in R, que satisfaça as condições dadas.
d yd x=12 y e y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem \r
dydx=12,y
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é resolução de equações de variáveis separáveis: isolamos y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dyy=12,dx
e agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Ao integrar obtemos
integraldyy=integral12,dx Longrightarrow lnlvert yrvert=x2+C,
sendo C a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando os dois lados surge
lvert yrvert=e^,x2+C =e^C,e^x2
Como a solução é contínua e y(0)=2>0, podemos escrever
y=C1,e^x2,
onde C1=e^C é uma nova constante real.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=2 temos
y(0)=C1,e^0=C1=2,
logo a solução particular é
y(x)=2,e^x2

Resposta

y(x)=2,e^x2

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