Let g(u, v)=(e^u, u+sin v) and f(x, y, z)=(x y, y z). Compute D(g circ f) at (0,1,0) using the chain rule.

Passo 1

O enunciado define
fcolon R^3 to R^2 por
f(x,y,z) = (,x y,;y z,)
e
gcolon R^2 to R^2 por
g(u,v) = l(e^u,;u + sin vr)
Queremos a derivada de gcirc f em (0,1,0). Pelo teorema da cadeia,
D(gcirc f)(x,y,z) = Dgl(f(x,y,z)r);cdot;Df(x,y,z)

Passo 2

Calculamos a jacobiana de f. Como
f1(x,y,z)=x y e f2(x,y,z)=y z,
temos
Df(x,y,z) = dfracpartial f1partial x & dfracpartial f1partial y & dfracpartial f1partial z[6pt] dfracpartial f2partial x & dfracpartial f2partial y & dfracpartial f2partial z = y & x & 0 0 & z & y ]

Passo 3

Calculamos a jacobiana de g. Como
g1(u,v)=e^u, g2(u,v)=u+sin v,
vem
Dg(u,v) = dfracpartial g1partial u & dfracpartial g1partial v[6pt] dfracpartial g2partial u & dfracpartial g2partial v = e^u & 0 1 & cos v ]

Passo 4

Avaliaremos em (x,y,z)=(0,1,0). Primeiro
f(0,1,0) = (0cdot1,;1cdot0) = (0,0)
Logo
Df(0,1,0) = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , Dgl(f(0,1,0)r) = Dg(0,0) = 1 & 0 1 & 1

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
D(gcirc f)(0,1,0) = Dg(0,0);cdot;Df(0,1,0) = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1

Resposta

D(gcirc f)(0,1,0) = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1

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