Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio, qual é o comprimento de onda do fóton emitido quanto o elétron transita do nível 9 para 1?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
Resposta:
Escolher…
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron no átomo de hidrogênio que está no nível de energia 9 e vai descer para o nível 1. Quando isso acontece, ele emite um fóton, e a gente quer descobrir qual é o comprimento de onda desse fóton. Para resolver isso, vamos usar a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio e algumas constantes universais que já temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio. A expressão é:
Mas para facilitar, existe uma forma simplificada que relaciona diretamente os níveis de energia com o número quântico $ n $:
No entanto, como queremos o comprimento de onda em metros e temos as constantes em SI, vamos usar a forma completa.
Passo 3
Vamos calcular a energia nos níveis $ n = 9 $ e $ n = 1 $ usando a expressão de Bohr. A energia desse nível é:
Mas, para facilitar os cálculos, podemos usar a relação entre a energia e o comprimento de onda do fóton emitido:
Essa diferença de energia é igual à energia do fóton emitido:
onde:
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ c $ é a velocidade da luz,
- $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Passo 4
Vamos calcular $ \Delta E $:
Primeiro, calculamos $ E_1 $:
E $ E_9 $:
A diferença de energia $ \Delta E $ é:
Note que $ \Delta E $ será positiva, já que estamos falando de emissão de fóton.
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa diferença de energia com o comprimento de onda $ \lambda $:
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
Passo 6
Precisamos agora substituir os valores das constantes:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} , \mathrm{J \cdot s} $
- $ c = 3 \times 10^{8} , \mathrm{m/s} $
- $ \Delta E $ foi calculada previamente.
Vamos simplificar a expressão para $ \Delta E $ usando valores numéricos:
Sabemos que a diferença de energia entre dois níveis no modelo de Bohr também pode ser calculada usando a fórmula:
Convertendo eV para J (já que nossas constantes estão em SI):
$ 1 , eV = 1,6 \times 10^{-19} , J $
Então,
Calculando:
Passo 7
Agora, substituímos $ \Delta E $ na fórmula do comprimento de onda:
Calculando o valor:
Passo 8
Finalmente, vamos expressar o comprimento de onda em unidades mais comuns, como os nanômetros (nm):
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente $ 92,35 , \mathrm{nm} $.