Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio, qual é o comprimento de onda do fóton emitido quanto o elétron transita do nível 9 para 1?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 times 10^-5=3,45 E-5
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 times 10^-34 J s
me=9,11 times 10^-31 kg
e=1,6 times 10^-19 C
c=3 times 10^8 m / s
Resposta: square Escolher…

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron no átomo de hidrogênio que está no nível de energia 9 e vai descer para o nível 1. Quando isso acontece, ele emite um fóton, e a gente quer descobrir qual é o comprimento de onda desse fóton. Para resolver isso, vamos usar a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio e algumas constantes universais que já temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio. A expressão é:
En = -me e^48 varepsilon0^2 h^2 cdot 1n^2
Mas para facilitar, existe uma forma simplificada que relaciona diretamente os níveis de energia com o número quântico $ n $:
n
No entanto, como queremos o comprimento de onda em metros e temos as constantes em SI, vamos usar a forma completa.

Passo 3

Vamos calcular a energia nos níveis $ n = 9 $ e $ n = 1 $ usando a expressão de Bohr. A energia desse nível é:
n = 9
Mas, para facilitar os cálculos, podemos usar a relação entre a energia e o comprimento de onda do fóton emitido:
n = 1
Essa diferença de energia é igual à energia do fóton emitido:
En = -me e^48 varepsilon0^2 h^2 cdot 1n^2
onde:
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ c $ é a velocidade da luz,
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda.

Passo 4

Vamos calcular $ \Delta E $:
Primeiro, calculamos $ E_1 $:
De
E $ E_9 $:
E1
A diferença de energia $ \Delta E $ é:
E1 = -me e^48 varepsilon0^2 h^2 cdot 11^2
Note que $ \Delta E $ será positiva, já que estamos falando de emissão de fóton.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa diferença de energia com o comprimento de onda $ \lambda $:
lambda
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
De

Passo 6

Precisamos agora substituir os valores das constantes:
  • $ h = 6,626 \times 10^{-34} , \mathrm{J \cdot s} $
  • $ c = 3 \times 10^{8} , \mathrm{m/s} $
  • $ \Delta E $ foi calculada previamente.
Vamos simplificar a expressão para $ \Delta E $ usando valores numéricos:
Sabemos que a diferença de energia entre dois níveis no modelo de Bohr também pode ser calculada usando a fórmula:
h = 6,626 times 10^-34 , J cdot s
Convertendo eV para J (já que nossas constantes estão em SI):
$ 1 , eV = 1,6 \times 10^{-19} , J $
Então,
c = 3 times 10^8 , m/s
Calculando:
De

Passo 7

Agora, substituímos $ \Delta E $ na fórmula do comprimento de onda:
De
Calculando o valor:
lambda = 6,626 times 10^-34 , J cdot s times 3 times 10^8 , m/s21,51 times 10^-19 , J

Passo 8

Finalmente, vamos expressar o comprimento de onda em unidades mais comuns, como os nanômetros (nm):
9,235 times 10^-8 , m = 92,35 , nm

Resposta

O comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente $ 92,35 , \mathrm{nm} $.

Exercícios relacionados