Utilizando a expressão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
(a) lim x 0 1-cos (x)x^2
(b) lim x 0 x-sen(x)x^3
© lim x 0 x-ln (1+x)x^2.
Resposta: (a) 12
(b) 16 © 12

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites quando x→0 usando séries de potências (Taylor) das funções envolvidas: cos(x), sen(x) e ln(1+x). Vamos usar o desenvolvimento em torno de 0 de cada função para extrair o termo dominante e obter o valor dos limites.

Passo 2

Para (a) usamos a série de Taylor de cos(x) em torno de 0. Sabemos que
cos(x)=1-x^22!+x^44!-cdots
Logo:
1-cos(x)=x^22-x^424+cdots
Dividindo por x^2:
1-cos(x)x^2=12-x^224+cdots
Quando x→0, todos os termos além de 1/2 desaparecem, ficando 1/2.

Passo 3

Para (b) usamos a série de Taylor de sen(x) em torno de 0. Sabemos que
sin(x)=x-x^33!+x^55!-cdots
Logo:
x-sin(x)=x-l(x-x^36+cdotsr)=x^36-x^5120+cdots
Dividindo por x^3:
x-sin(x)x^3=16-x^2120+cdots
Quando x→0, só resta 1/6.

Passo 4

Para © usamos a série de Taylor de ln(1+x) em torno de 0. Sabemos que
ln(1+x)=x-x^22+x^33-cdots
Logo:
x-ln(1+x)=x-l(x-x^22+x^33-cdotsr)=x^22-x^33+cdots
Dividindo por x^2:
x-ln(1+x)x^2=12-x3+cdots
Quando x→0, permanece 1/2.

Resposta

(a) 12, (b) 16, © 12

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