Utilizando a expressão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
.
Resposta: (a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Resposta: (a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular três limites quando x→0 usando séries de potências (Taylor) das funções envolvidas: cos(x), sen(x) e ln(1+x). Vamos usar o desenvolvimento em torno de 0 de cada função para extrair o termo dominante e obter o valor dos limites.
Passo 2
Para (a) usamos a série de Taylor de cos(x) em torno de 0. Sabemos que
Logo:
Dividindo por x^2:
Quando x→0, todos os termos além de 1/2 desaparecem, ficando 1/2.
Passo 3
Para (b) usamos a série de Taylor de sen(x) em torno de 0. Sabemos que
Logo:
Dividindo por x^3:
Quando x→0, só resta 1/6.
Passo 4
Para © usamos a série de Taylor de ln(1+x) em torno de 0. Sabemos que
Logo:
Dividindo por x^2:
Quando x→0, permanece 1/2.
Resposta
(a)
, (b)
, ©