Utilizando fasores, determine \mathrm{v}(\mathrm{t}) nas expressões abaixo:
10 \int \mathrm{v}^{*} \mathrm{dt}+\mathrm{dv} / \mathrm{dt}+6 \mathrm{v}(\mathrm{t})=5 \cos \left(5 \mathrm{t}+22^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado pede a solução em regime permanente de
10\int v(t)\,dt \;+\;\frac{dv(t)}{dt}\;+\;6\,v(t)\;=\;5\cos\bigl(5t+22^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}
usando fasores. Vamos usar as transformações:
\displaystyle v(t)\xrightarrow{\mathcal{F}}V
\displaystyle \int v(t)\,dt\xrightarrow{\mathcal{F}}\frac{V}{j\omega}
\displaystyle \frac{dv(t)}{dt}\xrightarrow{\mathcal{F}}j\omega\,V
com \omega=5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Aplicando a transformada em fasor na equação, obtemos
10\cdot\frac{V}{j\omega}\;+\;j\omega\,V\;+\;6\,V\;=\;5\angle22^\circ
ou seja
V\Bigl(6 \;+\;j\omega\;+\;\frac{10}{j\omega}\Bigr)\;=\;5\angle22^\circ.

Passo 3

Substituindo \omega=5, calculemos cada termo:
\frac{10}{j5}=-j2, \qquad j\omega=j5.
Logo a impedância total é
Z=6 + j5 - j2 = 6 + j3.
A equação de fasor vira
V\,(6 + j3)=5\angle22^\circ \quad\Longrightarrow\quad V=\frac{5\angle22^\circ}{6 + j3}.

Passo 4

Agora calculemos o módulo e o ângulo de Z:
|Z|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}\approx6{,}708, \qquad \arg(Z)=\arctan\!\bigl(\tfrac{3}{6}\bigr)=26{,}565^\circ.
Portanto
V=\frac{5}{6{,}708}\,\angle\bigl(22^\circ-26{,}565^\circ\bigr) \;=\;0{,}746\;\angle(-4{,}565^\circ)\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Retornando ao domínio do tempo, a tensão é
v(t)=0{,}746\;\cos\bigl(5t - 4{,}565^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

Resposta

v(t)=0{,}746\cos\bigl(5t - 4{,}565^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

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