Utilizando fasores, determine \mathrm{v}(\mathrm{t}) nas expressões abaixo:
d v / d t+5 v(t)+4 \int v^{*} d t=20 \operatorname{sen}\left(4 t+10^{\circ}\right) V

Passo 1

O enunciado dá a equação integral-diferencial
\frac{d v}{d t} + 5\,v(t) + 4 \int v(t)\,d t = 20\,\operatorname{sen}\bigl(4t + 10^\circ\bigr)\,\text{V}
e pede a solução em regime permanente utilizando fasores. Vamos usar as propriedades de fasores: derivada vira multiplicação por j\omega e integral por divisão por j\omega, com \omega=4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Definimos o fasor de v(t) como V tal que
v(t)=\Re\{V\,e^{j4t}\}.
O termo de entrada 20\operatorname{sen}(4t+10^\circ) tem fasor de magnitude 20 e fase 10^\circ, ou seja
V_{\text{in}}=20\angle10^\circ.

Passo 3

Aplicamos a conversão fasorial em cada termo:
  1. \displaystyle \frac{d v}{d t}\longrightarrow j\omega\,V = j4\,V.
  2. 5\,v(t)\longrightarrow 5\,V.
  3. \displaystyle 4\int v(t)\,dt\longrightarrow 4\,\frac{V}{j\omega} = \frac{4}{j4}\,V = -j\,V.
Assim a equação em fasores fica
\bigl(j4 + 5 - j1\bigr)\,V = V_{\text{in}}.

Passo 4

Simplificamos o coeficiente:
j4 - j1 +5 = 5 + j3.
Logo
V = \frac{V_{\text{in}}}{5 + j3} = \frac{20\angle10^\circ}{5 + j3}.

Passo 5

Calculamos magnitude e fase de 5 + j3:
|5 + j3| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}, \quad \arg(5 + j3) = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)\approx 30{,}96^\circ.
Assim
V = \frac{20}{\sqrt{34}}\angle\bigl(10^\circ -30{,}96^\circ\bigr) \approx 3{,}430\angle(-20{,}96^\circ).

Passo 6

Voltando ao domínio do tempo, a solução em regime permanente é
v(t) = 3{,}430\,\operatorname{sen}\bigl(4t -20{,}96^\circ\bigr)\,\text{V}.

Resposta

v(t) = 3{,}430\,\operatorname{sen}\bigl(4t -20{,}96^\circ\bigr)\,\text{V}.

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