Utilizando o fator integrante do tipo,
[3.] I(y)=\exp \left(-\int g(y) d y\right) \quad \text { onde } \quad g(y)=\frac{1}{M}\left[\partial_{y} M-\partial_{x} N\right]
é uma função apenas de y. Resolva a EDO,
x y d x+\left(x^{2}+2 y^{2}+2\right) d y=0, \quad \text { para } \quad y>0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Enunciado: a EDO
x y\,dx + \bigl(x^{2} + 2y^{2} + 2\bigr)\,dy = 0,
com a condição de domínio y>0.
  • O que é pedido: encontrar a solução geral implícita da equação diferencial (uma relação entre x e y que contenha uma constante arbitrária).
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • Podemos colocar a equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x y,\qquad N(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2.
    • O domínio y>0 é importante ao manipular logaritmos/exponenciais que aparecerão adiante.

Passo 2

Verificar se a equação já é exata (explicando o que é exatidão).
  • Conceito rápido: a equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial_x\Phi=M e \partial_y\Phi=N. Uma condição prática necessária e suficiente (em domínio convexo) é
    \partial_y M = \partial_x N.
    Aqui \partial_y M é a derivada parcial de M em relação a y (tratando x como constante) e \partial_x N é a derivada parcial de N em relação a x.
  • Calcular:
    \partial_y M = \partial_y(xy)=x, \qquad \partial_x N = \partial_x(x^{2}+2y^{2}+2)=2x.
    Como \partial_y M = x \neq 2x = \partial_x N, a equação NÃO é exata na forma dada.

Passo 3

Introduzir o fator integrante do tipo dependente só de y e explicar quando ele é aplicável.
  • Ideia: às vezes existe um fator integrante I(y) (função só de y) tal que multiplicando a equação por I(y) ela se torna exata. Uma condição prática para existir tal I(y) é que a quantidade g(y)=\frac{1}{M}\bigl(\partial_y M - \partial_x N\bigr)dependa apenas de y (ou seja, que as x cancelem). Se isso ocorrer, então um fator integrante é dado por I(y)=\exp\!\Bigl(-\int g(y)\,dy\Bigr).
  • Aplicar essa fórmula aos M e N do problema: \partial_y M - \partial_x N = x - 2x = -x.Logo g(y)=\frac{1}{M}\bigl(\partial_y M - \partial_x N\bigr)=\frac{-x}{x y}=-\frac{1}{y}.Observação importante: aqui o x cancela, então g(y)=-\dfrac{1}{y} é realmente função somente de y. Portanto a fórmula para I(y) é aplicável.

Passo 4

Calcular o fator integrante I(y) e comentar o papel de y>0.
  • Calcular: I(y)=\exp\!\Bigl(-\int g(y)\,dy\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\int \bigl(-\tfrac{1}{y}\bigr)\,dy\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{y}\,dy\Bigr).Como y>0 podemos usar \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln y sem ambiguidade, então I(y)=\exp(\ln y)=y.
  • Conclusão: o fator integrante é I(y)=y (a condição y>0 garante que \ln y e \exp(\ln y) estão bem definidos e que I(y)=y>0).

Passo 5

Multiplicar a equação original por I(y)=y e checar exatidão.
  • Multiplicando:
    y\bigl(x y\,dx + (x^{2}+2y^{2}+2)\,dy\bigr)=0
    isto é
    \bigl(x y^{2}\bigr)\,dx + \bigl(x^{2}y + 2y^{3} + 2y\bigr)\,dy = 0.
    Denotando M^{*}=x y^{2} e N^{*}=x^{2}y + 2y^{3} + 2y.
  • Verificar exatidão:
    \partial_y M^{*} = \partial_y(x y^{2})=2x y, \qquad \partial_x N^{*} = \partial_x(x^{2}y + 2y^{3} + 2y)=2x y.
    Como \partial_y M^{*}=\partial_x N^{*}, a equação ponderada por y é exata.

Passo 6

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial_x\Phi=M^{*} e \partial_y\Phi=N^{*}.
  • Integrar \partial_x\Phi = M^{*}=x y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
    \Phi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y),
    onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração ao integrar em x).
  • Agora impor \partial_y\Phi = N^{*}. Calcular \partial_y\Phi a partir da expressão acima:
    \partial_y\Phi = \partial_y\!\Bigl(\frac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y)\Bigr) = x^{2}y + h'(y).
    Devemos ter x^{2}y + h'(y) = N^{*} = x^{2}y + 2y^{3} + 2y. Assim
    h'(y)=2y^{3}+2y.

Passo 7

Integrar h'(y) para obter h(y) e montar a solução implícita.
  • Integrar:
    h(y)=\int (2y^{3}+2y)\,dy = \frac{1}{2}y^{4} + y^{2} + C_{0},
    onde C_{0} é constante.
  • Portanto a função potencial completa é
    \Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2} + \frac{1}{2}y^{4} + y^{2} + C_{0}.
    Ao colocar a constante do outro lado, a solução geral implícita da equação exata (após multiplicar por y) é
    \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + \frac{1}{2}y^{4} + y^{2} = C,
    com C constante arbitrária.

Passo 8

Escrever a solução em forma simplificada e interpretar.
  • Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar a aparência: x^{2}y^{2} + y^{4} + 2y^{2} = C_{1},ou agrupando: y^{2}\bigl(x^{2} + y^{2} + 2\bigr) = C_{1},com C_{1} constante arbitrária. Esta é a solução implícita válida para y>0.

Resposta

y^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+2\bigr)=C

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