Utilizando o fator integrante do tipo,
[3.]
é uma função apenas de
. Resolva a EDO,
[3.]
é uma função apenas de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Enunciado: a EDO
com a condição de domínio
.
-
O que é pedido: encontrar a solução geral implícita da equação diferencial (uma relação entre
e que contenha uma constante arbitrária). -
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos colocar a equação na forma
com - O domínio
é importante ao manipular logaritmos/exponenciais que aparecerão adiante.
- Podemos colocar a equação na forma
Passo 2
Verificar se a equação já é exata (explicando o que é exatidão).
-
Conceito rápido: a equação
é exata se existe uma função potencial tal que e . Uma condição prática necessária e suficiente (em domínio convexo) é Aquié a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e é a derivada parcial de em relação a . -
Calcular:Como
, a equação NÃO é exata na forma dada.
Passo 3
Introduzir o fator integrante do tipo dependente só de
e explicar quando ele é aplicável.
- Ideia: às vezes existe um fator integrante
(função só de ) tal que multiplicando a equação por ela se torna exata. Uma condição prática para existir tal é que a quantidade dependa apenas de (ou seja, que as cancelem). Se isso ocorrer, então um fator integrante é dado por - Aplicar essa fórmula aos
e do problema: Logo Observação importante: aqui o cancela, então é realmente função somente de . Portanto a fórmula para é aplicável.
Passo 4
Calcular o fator integrante
e comentar o papel de
.
- Calcular:
Como podemos usar sem ambiguidade, então - Conclusão: o fator integrante é
(a condição garante que e estão bem definidos e que ).
Passo 5
Multiplicar a equação original por
e checar exatidão.
-
Multiplicando:isto éDenotando
e . -
Verificar exatidão:Como
, a equação ponderada por é exata.
Passo 6
Encontrar a função potencial
tal que
e
.
-
Integrar
em relação a (tratando como constante): ondeé uma função arbitrária de (a “constante” de integração ao integrar em ). -
Agora impor
. Calcular a partir da expressão acima: Devemos ter. Assim
Passo 7
Integrar
para obter
e montar a solução implícita.
-
Integrar:onde
é constante. -
Portanto a função potencial completa éAo colocar a constante do outro lado, a solução geral implícita da equação exata (após multiplicar por
) é comconstante arbitrária.
Passo 8
Escrever a solução em forma simplificada e interpretar.
- Multiplicando ambos os lados por
para simplificar a aparência: ou agrupando: com constante arbitrária. Esta é a solução implícita válida para .