PROJETO DE LABORATÓRIO SCA SEQUÊNCIAS LOGÍSTICAS

Uma sequência que aparece em ecologia como um modelo para o crescimento populacional é definida pela equação de diferença logística
p_{n+1}=k p_{n}\left(1-p_{n}\right)
onde p_{n} mede o tamanho da população da n-ésima geração de uma única espécie. Para manter os números manejáveis, p_{n} é uma fração do tamanho máximo da população, e assim 0 \leqslant p_{n} \leqslant 1. Observe que a forma dessa equação é similar à da equação diferencial logística na Seção 9.4. O modelo discreto - com sequências em vez de funções contínuas - é preferível para modelar populações de insetos, nas quais acasalamento e morte ocorrem de maneira periódica.
Um ecologista está interessado em prever o tamanho da população com o passar do tempo e faz as perguntas: ela vai estabilizar em um valor limite? Ela mudará de uma maneira cíclica? Ou ela exibirá comportamento aleatório?
Escreva um programa para calcular os n primeiros termos dessa sequência, começando com uma população inicial p_{0}, onde 0<p_{0}<1. Utilize este programa para fazer o seguinte.
  1. Calcule 20 ou 30 termos da sequência para p_{0}=\frac{1}{2} e para dois valores de k tal que 1<k<3. Faça um gráfico de casa sequência. As sequências parecem convergir? Repita para um valor diferente de p_{0} entre 0 e 1 . O limite depende da escolha de p_{0} ? Depende da escolha de k ?
  2. Calcule termos da sequência para um valor de k entre 3 e 3,4 e faça seu gráfico. O que você nota sobre o comportamento dos termos?
  3. Experimente com valores de k entre 3,4 e 3,5 . O que acontece com os termos?
  4. Para valores de k entre 3,6 e 4 , calcule e trace pelo menos 100 termos e comente sobre o comportamento da sequência. O que acontecerá se você mudar p_{0} por 0,001 ? Esse tipo de comportamento é chamado caótico e é exibido por populações de insetos sob certas condições.

  1. É necessário usar um sistema de computação algébrica

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos (sem resolver nada ainda).
  • A sequência é dada por p_{n+1}=k\,p_n\left(1-p_n\right), com 0<p_0<1 e queremos estudar o comportamento temporal de p_n.
  • O enunciado pede que se faça experimentos (programa + gráficos) e comentários para os seguintes casos:
    1. Calcular 20 ou 30 termos para p_0=\tfrac{1}{2} e para dois valores de k com 1<k<3. Repetir para outro p_0 e responder: as sequências parecem convergir? O limite depende de p_0? Depende de k?
    2. Calcular termos para um k entre 3 e 3{,}4 e comentar o comportamento dos termos.
    3. Experimentar k entre 3{,}4 e 3{,}5 e descrever o que acontece.
    4. Para k entre 3{,}6 e 4, calcular e traçar pelo menos 100 termos e comentar o comportamento; e responder o que acontece se trocar p_0 para 0,001.

Passo 2

Explicar a equação e os conceitos básicos que vou usar (o que é preciso saber para entender e resolver o exercício).
  • A função iterada é f(p)=k\,p(1-p). A cada passo calculamos p_{n+1}=f(p_n).
  • Pontos fixos (limites constantes possíveis) são valores p^* que satisfazem p^*=f(p^*). Vou resolver isso: substituindo, p^*=k\,p^*(1-p^*) \quad\Rightarrow\quad p^*\bigl(k(1-p^*)-1\bigr)=0.Logo existem dois pontos fixos: p^*=0 \quad\text{e}\quad p^*=1-\frac{1}{k}.Observação: o segundo só faz sentido (no intervalo [0,1]) quando k>1.
  • Estabilidade de um ponto fixo: um ponto fixo p^* é estável (atrai órbitas próximas) se o valor absoluto da derivada da função no ponto for menor que 1: |f'(p^*)|<1.Aqui f'(p)=k(1-2p). Vou aplicar essa regra nos dois pontos fixos.

Passo 3

Análise de estabilidade dos fixos (a parte teórica que explica o que se observa numericamente).
  • Para p^*=0: f'(0)=k. Assim p^*=0 é estável somente se |k|<1. Como nos interessam k>1, o ponto 0 não é atraente nos casos pedidos.
  • Para p^*=1-\dfrac{1}{k}: calcule f'\bigl(1-\tfrac{1}{k}\bigr)=k\Bigl(1-2\Bigl(1-\tfrac{1}{k}\Bigr)\Bigr)=k(-1+\tfrac{2}{k})=-k+2.A condição de estabilidade é |-k+2|<1, ou seja 1<k<3.Conclusão teórica importante: para 1<k<3 o segundo ponto fixo p^*=1-\dfrac{1}{k} é estável — portanto as sequências com p_0\in(0,1) tendem a esse limite (salvo casos degenerados). Em k=3 ocorre uma bifurcação de flip (o ponto perde estabilidade e aparece um comportamento periódico de período 2). Para k>3 começam a ocorrer oscilações de período 2,4,8,\dots (sucessivas bifurcações) até entrar em regime caótico (cadeia de bifurcações period-doubling).

Passo 4

Como construir o programa (pseudocódigo e dicas para plotar). Vou dar um código Python mínimo que basta para gerar as sequências e os gráficos; depois explico como usá-lo passo a passo.
Exemplo de código (Python) para calcular e plotar:
  • Estrutura básica (pseudo/real):
    def logistic_iter(k, p0, N):
        seq = [p0]
        p = p0
        for n in range(N):
            p = k * p * (1 - p)
            seq.append(p)
        return seq
    
    # Exemplo de uso:
    k = 2.5
    p0 = 0.5
    N = 30
    seq = logistic_iter(k, p0, N)
    # usar matplotlib: plt.plot(seq, marker='o'); plt.xlabel('n'); plt.ylabel('p_n'); plt.show()
    
  • Observações práticas:
    • Guardar N+1 termos (inclui p_0).
    • Para gráficos use uma linha com pontos e/ou um diagrama “cobweb” (para entender geometria).
    • Para estudar sensibilidade a p_0, execute duas sequências com p_0 ligeiramente diferentes e plote a diferença |p_n^{(1)}-p_n^{(2)}| em escala log para ver a divergência.
    • Para construir o diagrama de bifurcação (mais avançado): para cada k numa malha, itere muitos passos, descarte transientes (p.ex. primeiros 100) e plote os próximos 100 pontos para cada k.

Passo 5

Resolver o item 1 (caso 1<k<3): mostrar cálculos numéricos exemplares e explicar como ler o resultado.
  • Exemplo concreto: escolha k=2{,}5 e p_0=\tfrac{1}{2}.
    • p_0=\tfrac{1}{2}=0,5.
    • Calculemos alguns termos à mão: p_1=k p_0(1-p_0)=2{,}5\times0{,}5\times0{,}5=2{,}5\times0{,}25=0{,}625.
p_2=2{,}5\times0{,}625\times(1-0{,}625)=2{,}5\times0{,}625\times0{,}375=0{,}5859375.
p_3=2{,}5\times0{,}5859375\times(1-0{,}5859375)\approx0{,}6060\ldots
p_4\approx0{,}598\ldots,\quad p_5\approx0{,}602\ldots
  • O ponto fixo teórico é p^*=1-\frac{1}{k}=1-\frac{1}{2{,}5}=1-0{,}4=0{,}6.
  • Observação: os termos oscilam e convergem rapidamente para 0{,}6.
  • Repetir para outro p_0 (por exemplo p_0=0{,}2) dá a mesma convergência para 0{,}6: portanto, no intervalo 1<k<3 a sequência converge para p^*=1-\dfrac{1}{k} independentemente (em grande parte dos casos) de p_0, desde p_0\in(0,1). Em termos práticos para a prova: responda que o limite depende de k (porque p^* depende de k), mas não do p_0 (não depende do estado inicial, exceto pontos especiais de medida zero).

Passo 6

Resolver o item 2 (caso 3<k<3{,}4): comportamento tipo período-2.
  • Exemplo concreto: k=3{,}2 e p_0=0{,}5.
    • p_1=3{,}2\times0{,}5\times0{,}5=0{,}8.
    • p_2=3{,}2\times0{,}8\times0{,}2=0{,}512.
    • p_3=3{,}2\times0{,}512\times0{,}488\approx0{,}803\ldots
    • p_4\approx0{,}502\ldots
    • Observação: os termos se aproximam de duas valores que se alternam (um ciclo de período 2). Isso é exatamente o que se espera logo após a bifurcação em k=3: o ponto fixo perde estabilidade e aparece um ciclo estável de período 2.
  • Conclusão prática: para 3<k\lesssim3{,}449\ldots (até a próxima bifurcação) a órbita tende a um ciclo de período 2 — nos gráficos você verá duas linhas horizontais (valores alternantes).

Passo 7

Resolver o item 3 (caso 3{,}4<k<3{,}5): início de novas bifurcações (period-doubling), exemplificar.
  • Exemplo concreto: k=3{,}5 e p_0=0{,}5.
    • p_1=3{,}5\times0{,}25=0{,}875.
    • p_2=3{,}5\times0{,}875\times0{,}125=0{,}3828125.
    • p_3\approx3{,}5\times0{,}3828125\times0{,}6171875\approx0{,}8269.
    • p_4\approx0{,}4996,\\ p_5\approx0{,}875\ldots
    • Observação: aqui aparece um ciclo de período 4 ou comportamento mais complexo dependendo do k exato — isto é, as sucessivas bifurcações (2→4→8…) começam a ocorrer; para alguns k nesta faixa já se observam períodos 4 ou janelas de comportamento misto.
  • Conclusão prática: nesta faixa aparecem comportamentos periódicos de período maior que 2; o padrão é “duplica o período” à medida que k aumenta até a região de acumulação das bifurcações.

Passo 8

Resolver o item 4 (caso 3{,}6\le k\le4): comportamento caótico e sensibilidade a condições iniciais; exemplo numérico.
  • No intervalo 3{,}6 a 4 o mapa apresenta comportamento complexo: há regiões caóticas (onde a sequência se comporta de maneira aparentemente aleatória), intercaladas com janelas de periodicidade (por exemplo ciclo de período 3 por volta de k\approx3{,}83). A acumulação das bifurcações ocorrerá perto de k_\infty\approx3{,}569946\ldots.
  • Exemplo numérico para visualizar caos e sensibilidade:
    • Tome k=3{,}9. Começando de p_0=0{,}5: p_1=3{,}9\times0{,}25=0{,}975,
p_2=3{,}9\times0{,}975\times0{,}025=0{,}0950625,
p_3\approx3{,}9\times0{,}0950625\times0{,}9049375\approx0{,}3355,
p_4\approx0{,}8697,\\ p_5\approx0{,}4414,\\ \ldots
Os valores parecem "saltar" sem convergir.
  • Agora mude o inicial para p_0'=0{,}001 e calcule alguns termos (com k=3{,}9): p_1'=3{,}9\times0{,}001\times0{,}999\approx0{,}0038961,
p_2'\approx3{,}9\times0{,}0038961\times0{,}9961039\approx0{,}01513\ldots
Após poucas iterações as duas sequências (a que começou em \(0{,}5\) e a que começou em \(0{,}001\)) já não se parecem — isto ilustra a sensibilidade a condições iniciais típica do regime caótico.
  • Recomendação prática para gráficos: iterar pelo menos N=100 ou N=1000, descartar um número inicial de iterações como transiente (por exemplo, descartar primeiros 100) e plotar os subsequentes 100 pontos para ver a “nuvem” do atrator.
  • Termo técnico importante: comportamento com sensibilidade exponencial às condições iniciais, mistura e densidade de órbitas é chamado de caos. Uma medida quantitativa é o expoente de Lyapunov \lambda; se \lambda>0 o comportamento é caótico. O expoente pode ser aproximado por \lambda \approx \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}\ln|f'(p_i)|,onde f'(p)=k(1-2p). Não é obrigatório calcular \lambda para a prova, mas é útil para caracterizar o caos.

Passo 9

Como tirar as conclusões e o que responder em cada item do enunciado (resumo para colocar no relatório/prova).
  • Para 1<k<3: a sequência converge para o ponto fixo p^*=1-\dfrac{1}{k}. O limite depende de k (porque p^* depende de k) mas, em geral, não depende do p_0 (qualquer p_0\in(0,1) leva ao mesmo p^*, salvo pontos especiais).
  • Para 3<k<3{,}4: observa-se um ciclo de período 2 (os termos alternam entre dois valores estáveis).
  • Para 3{,}4<k<3{,}5: aparecem períodos maiores (period-doubling); a dinâmica fica mais rica e já se veem ciclos de período 4 (ou transitórios) dependendo do k exato.
  • Para 3{,}6\le k\le4: em grande parte deste intervalo a sequência é caótica — oscila de modo não-periódico e é sensível a pequenas mudanças em p_0. Mudar p_0 para 0{,}001 altera muito a órbita: ambos os processos permanecem no mesmo tipo de comportamento (caótico), mas os valores de p_n diferem rapidamente; portanto a previsão a longo prazo torna-se impossível. Para ver isso graficamente: plote as duas sequências (com p_0 e 0{,}001) e observe divergência exponencial das trajetórias.

Passo 10

Dicas de resposta escrita e o que mostrar nos gráficos para cada item (como apresentar corretamente o relatório).
  • Item 1: mostrar dois gráficos (um para cada k escolhido em (1,3)) com 20–30 pontos; indicar no gráfico o valor teórico p^*=1-\dfrac{1}{k}. Mostrar uma repetição com outro p_0 para evidenciar independência do p_0.
  • Item 2 e 3: mostrar gráficos (tempo vs p_n) que evidenciem alternância entre dois/mais valores; para reforçar, mostrar um diagrama cobweb para um dos k.
  • Item 4: plotar pelo menos 100 termos; mostrar comparativo entre duas condições iniciais (por exemplo p_0=0{,}5 e p_0=0{,}001) para evidenciar sensibilidade. Se quiser, gerar o diagrama de bifurcação (varrendo k e plotando pontos após descartar transiente) — isso ilustra bem a transição para o caos.

Passo 11

Algumas observações finais, truques e respostas rápidas para a prova (resumo enxuto e encorajador).
  • Regra prática: se o valor absoluto da derivada no fixo for menor que 1, o fixo é localmente estável; aqui levou diretamente à condição 1<k<3 para estabilidade do fixo não-nulo.
  • Quando pedir “parece convergir?” — calcule alguns termos ou o erro |p_{n+1}-p_n|; se decair para zero e os termos se aproximarem de um número, conclua convergência. Se se estabilizarem em um conjunto finito de valores alternantes, conclua periodicidade.
  • Se o enunciado pedir só para “comentar”, descreva: convergência (1<k<3), período-2 (3<k<~3{,}449), sucessivas duplicações de período para k maiores, e caos para k acima de ~3{,}57 com janelas periódicas.
  • Coragem: com o pequeno programa acima e os exemplos numéricos dados, consegue gerar todos os gráficos pedidos rapidamente.

Resposta

  1. Para 1<k<3: as sequências convergem para o ponto fixo p^*=1-\dfrac{1}{k}. O limite depende de k (pois p^* depende de k) mas, em geral, não depende de p_0 (para qualquer p_0\in(0,1) a órbita tende a p^*).
  2. Para 3<k<3{,}4: observa-se comportamento periódico de período 2 (os termos alternam entre dois valores).
  3. Para 3{,}4<k<3{,}5: surgem novas bifurcações (duplicação de período) e aparecem ciclos de período maior (por exemplo período 4 em certas faixas).
  4. Para 3{,}6\le k\le4: comportamento majoritariamente caótico (órbitas aparentam aleatórias e são sensíveis a p_0); ao trocar p_0 para 0{,}001 obtém-se uma órbita diferente que rapidamente diverge da obtida com outro p_0 — isto é característico do caos.

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