PROJETO DE LABORATÓRIO SCA SEQUÊNCIAS LOGÍSTICAS
Uma sequência que aparece em ecologia como um modelo para o crescimento populacional é definida pela equação de diferença logística
onde
mede o tamanho da população da
-ésima geração de uma única espécie. Para manter os números manejáveis,
é uma fração do tamanho máximo da população, e assim
. Observe que a forma dessa equação é similar à da equação diferencial logística na Seção 9.4. O modelo discreto - com sequências em vez de funções contínuas - é preferível para modelar populações de insetos, nas quais acasalamento e morte ocorrem de maneira periódica.
Um ecologista está interessado em prever o tamanho da população com o passar do tempo e faz as perguntas: ela vai estabilizar em um valor limite? Ela mudará de uma maneira cíclica? Ou ela exibirá comportamento aleatório?
Escreva um programa para calcular os
primeiros termos dessa sequência, começando com uma população inicial
, onde
. Utilize este programa para fazer o seguinte.
- Calcule 20 ou 30 termos da sequência para
e para dois valores de
tal que
. Faça um gráfico de casa sequência. As sequências parecem convergir? Repita para um valor diferente de
entre 0 e 1 . O limite depende da escolha de
? Depende da escolha de
?
- Calcule termos da sequência para um valor de
entre 3 e 3,4 e faça seu gráfico. O que você nota sobre o comportamento dos termos?
- Experimente com valores de
entre 3,4 e 3,5 . O que acontece com os termos?
- Para valores de
entre 3,6 e 4 , calcule e trace pelo menos 100 termos e comente sobre o comportamento da sequência. O que acontecerá se você mudar
por 0,001 ? Esse tipo de comportamento é chamado caótico e é exibido por populações de insetos sob certas condições.
- É necessário usar um sistema de computação algébrica
- É necessário usar um sistema de computação algébrica
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos (sem resolver nada ainda).
- A sequência é dada por
com e queremos estudar o comportamento temporal de . - O enunciado pede que se faça experimentos (programa + gráficos) e comentários para os seguintes casos:
- Calcular 20 ou 30 termos para
e para dois valores de com . Repetir para outro e responder: as sequências parecem convergir? O limite depende de ? Depende de ? - Calcular termos para um
entre e e comentar o comportamento dos termos. - Experimentar
entre e e descrever o que acontece. - Para
entre e , calcular e traçar pelo menos 100 termos e comentar o comportamento; e responder o que acontece se trocar para .
- Calcular 20 ou 30 termos para
Passo 2
Explicar a equação e os conceitos básicos que vou usar (o que é preciso saber para entender e resolver o exercício).
- A função iterada é
A cada passo calculamos . - Pontos fixos (limites constantes possíveis) são valores
que satisfazem Vou resolver isso: substituindo, Logo existem dois pontos fixos: Observação: o segundo só faz sentido (no intervalo ) quando . - Estabilidade de um ponto fixo: um ponto fixo
é estável (atrai órbitas próximas) se o valor absoluto da derivada da função no ponto for menor que : Aqui . Vou aplicar essa regra nos dois pontos fixos.
Passo 3
Análise de estabilidade dos fixos (a parte teórica que explica o que se observa numericamente).
- Para
: Assim é estável somente se . Como nos interessam , o ponto não é atraente nos casos pedidos. - Para
: calcule A condição de estabilidade é , ou seja Conclusão teórica importante: para o segundo ponto fixo é estável — portanto as sequências com tendem a esse limite (salvo casos degenerados). Em ocorre uma bifurcação de flip (o ponto perde estabilidade e aparece um comportamento periódico de período 2). Para começam a ocorrer oscilações de período (sucessivas bifurcações) até entrar em regime caótico (cadeia de bifurcações period-doubling).
Passo 4
Como construir o programa (pseudocódigo e dicas para plotar). Vou dar um código Python mínimo que basta para gerar as sequências e os gráficos; depois explico como usá-lo passo a passo.
Exemplo de código (Python) para calcular e plotar:
- Estrutura básica (pseudo/real):
def logistic_iter(k, p0, N): seq = [p0] p = p0 for n in range(N): p = k * p * (1 - p) seq.append(p) return seq # Exemplo de uso: k = 2.5 p0 = 0.5 N = 30 seq = logistic_iter(k, p0, N) # usar matplotlib: plt.plot(seq, marker='o'); plt.xlabel('n'); plt.ylabel('p_n'); plt.show() - Observações práticas:
- Guardar
termos (inclui ). - Para gráficos use uma linha com pontos e/ou um diagrama “cobweb” (para entender geometria).
- Para estudar sensibilidade a
, execute duas sequências com ligeiramente diferentes e plote a diferença em escala log para ver a divergência. - Para construir o diagrama de bifurcação (mais avançado): para cada
numa malha, itere muitos passos, descarte transientes (p.ex. primeiros 100) e plote os próximos 100 pontos para cada .
- Guardar
Passo 5
Resolver o item 1 (caso
): mostrar cálculos numéricos exemplares e explicar como ler o resultado.
- Exemplo concreto: escolha
e . -
. - Calculemos alguns termos à mão:
-
- O ponto fixo teórico é
- Observação: os termos oscilam e convergem rapidamente para
. - Repetir para outro
(por exemplo ) dá a mesma convergência para : portanto, no intervalo a sequência converge para independentemente (em grande parte dos casos) de , desde . Em termos práticos para a prova: responda que o limite depende de (porque depende de ), mas não do (não depende do estado inicial, exceto pontos especiais de medida zero).
Passo 6
Resolver o item 2 (caso
): comportamento tipo período-2.
- Exemplo concreto:
e . -
-
-
-
- Observação: os termos se aproximam de duas valores que se alternam (um ciclo de período 2). Isso é exatamente o que se espera logo após a bifurcação em
: o ponto fixo perde estabilidade e aparece um ciclo estável de período 2.
-
- Conclusão prática: para
(até a próxima bifurcação) a órbita tende a um ciclo de período 2 — nos gráficos você verá duas linhas horizontais (valores alternantes).
Passo 7
Resolver o item 3 (caso
): início de novas bifurcações (period-doubling), exemplificar.
- Exemplo concreto:
e . -
-
-
-
- Observação: aqui aparece um ciclo de período 4 ou comportamento mais complexo dependendo do
exato — isto é, as sucessivas bifurcações (2→4→8…) começam a ocorrer; para alguns nesta faixa já se observam períodos 4 ou janelas de comportamento misto.
-
- Conclusão prática: nesta faixa aparecem comportamentos periódicos de período maior que 2; o padrão é “duplica o período” à medida que
aumenta até a região de acumulação das bifurcações.
Passo 8
Resolver o item 4 (caso
): comportamento caótico e sensibilidade a condições iniciais; exemplo numérico.
- No intervalo
a o mapa apresenta comportamento complexo: há regiões caóticas (onde a sequência se comporta de maneira aparentemente aleatória), intercaladas com janelas de periodicidade (por exemplo ciclo de período 3 por volta de ). A acumulação das bifurcações ocorrerá perto de . - Exemplo numérico para visualizar caos e sensibilidade:
- Tome
. Começando de :
- Tome
Os valores parecem "saltar" sem convergir.
- Agora mude o inicial para
e calcule alguns termos (com ):
Após poucas iterações as duas sequências (a que começou em \(0{,}5\) e a que começou em \(0{,}001\)) já não se parecem — isto ilustra a sensibilidade a condições iniciais típica do regime caótico.
- Recomendação prática para gráficos: iterar pelo menos
ou , descartar um número inicial de iterações como transiente (por exemplo, descartar primeiros 100) e plotar os subsequentes 100 pontos para ver a “nuvem” do atrator. - Termo técnico importante: comportamento com sensibilidade exponencial às condições iniciais, mistura e densidade de órbitas é chamado de caos. Uma medida quantitativa é o expoente de Lyapunov
; se o comportamento é caótico. O expoente pode ser aproximado por onde . Não é obrigatório calcular para a prova, mas é útil para caracterizar o caos.
Passo 9
Como tirar as conclusões e o que responder em cada item do enunciado (resumo para colocar no relatório/prova).
- Para
: a sequência converge para o ponto fixo . O limite depende de (porque depende de ) mas, em geral, não depende do (qualquer leva ao mesmo , salvo pontos especiais). - Para
: observa-se um ciclo de período 2 (os termos alternam entre dois valores estáveis). - Para
: aparecem períodos maiores (period-doubling); a dinâmica fica mais rica e já se veem ciclos de período 4 (ou transitórios) dependendo do exato. - Para
: em grande parte deste intervalo a sequência é caótica — oscila de modo não-periódico e é sensível a pequenas mudanças em . Mudar para altera muito a órbita: ambos os processos permanecem no mesmo tipo de comportamento (caótico), mas os valores de diferem rapidamente; portanto a previsão a longo prazo torna-se impossível. Para ver isso graficamente: plote as duas sequências (com e ) e observe divergência exponencial das trajetórias.
Passo 10
Dicas de resposta escrita e o que mostrar nos gráficos para cada item (como apresentar corretamente o relatório).
- Item 1: mostrar dois gráficos (um para cada
escolhido em ) com 20–30 pontos; indicar no gráfico o valor teórico . Mostrar uma repetição com outro para evidenciar independência do . - Item 2 e 3: mostrar gráficos (tempo vs
) que evidenciem alternância entre dois/mais valores; para reforçar, mostrar um diagrama cobweb para um dos . - Item 4: plotar pelo menos 100 termos; mostrar comparativo entre duas condições iniciais (por exemplo
e ) para evidenciar sensibilidade. Se quiser, gerar o diagrama de bifurcação (varrendo e plotando pontos após descartar transiente) — isso ilustra bem a transição para o caos.
Passo 11
Algumas observações finais, truques e respostas rápidas para a prova (resumo enxuto e encorajador).
- Regra prática: se o valor absoluto da derivada no fixo for menor que 1, o fixo é localmente estável; aqui levou diretamente à condição
para estabilidade do fixo não-nulo. - Quando pedir “parece convergir?” — calcule alguns termos ou o erro
; se decair para zero e os termos se aproximarem de um número, conclua convergência. Se se estabilizarem em um conjunto finito de valores alternantes, conclua periodicidade. - Se o enunciado pedir só para “comentar”, descreva: convergência (1<k<3), período-2 (3<k<~3{,}449), sucessivas duplicações de período para k maiores, e caos para
acima de ~3{,}57 com janelas periódicas. - Coragem: com o pequeno programa acima e os exemplos numéricos dados, consegue gerar todos os gráficos pedidos rapidamente.
Resposta
- Para
: as sequências convergem para o ponto fixo . O limite depende de (pois depende de ) mas, em geral, não depende de (para qualquer a órbita tende a ). - Para
: observa-se comportamento periódico de período 2 (os termos alternam entre dois valores). - Para
: surgem novas bifurcações (duplicação de período) e aparecem ciclos de período maior (por exemplo período 4 em certas faixas). - Para
: comportamento majoritariamente caótico (órbitas aparentam aleatórias e são sensíveis a ); ao trocar para obtém-se uma órbita diferente que rapidamente diverge da obtida com outro — isto é característico do caos.