Utilizando o fator integrante do tipo,
[2.] I(x)=\exp \left(\int f(x) d x\right) \quad \text { onde } \quad f(x)=\frac{1}{N}\left[\partial_{y} M-\partial_{x} N\right]
função de apenas uma variável. Determine a solução geral da EDO não linear,
\left(x^{2}+y^{2}+1\right) d x-(x y+y) d y=0, \quad \text { para } \quad x>-1

Passo 1

Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é
\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\,dx-(x y+y)\,dy=0.
  • Colocando na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, temos
M(x,y)=x^{2}+y^{2}+1,\qquad N(x,y)=-(x y+y)=-y(x+1).
  • O enunciado sugere usar um fator integrante do tipo
I(x)=\exp\!\left(\int f(x)\,dx\right), \qquad\text{onde}\qquad f(x)=\frac{1}{N}\big(\partial_{y}M-\partial_{x}N\big),
ou seja, esse f deve depender apenas de x.
  • O objetivo: achar a solução geral implícita da EDO para x>-1.

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais \partial_{y}M e \partial_{x}N e verificar se a razão indicada depende só de x.
  • Calcular \partial_{y}M:
\partial_{y}M=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}+1\big)=2y.
  • Calcular \partial_{x}N. Lembrando que N=-(x y+y)=-y(x+1) e tratando y como constante ao derivar em relação a x:
\partial_{x}N=\frac{\partial}{\partial x}\big(-y(x+1)\big)=-y.
  • Agora a diferença:
\partial_{y}M-\partial_{x}N=2y-(-y)=3y.
  • Dividindo por N:
\frac{\partial_{y}M-\partial_{x}N}{N}=\frac{3y}{-y(x+1)}=-\frac{3}{x+1}.
Observe que o fator y cancelou; portanto a razão é uma função apenas de x, conforme exigido. Assim podemos aplicar o fator integrante proposto.

Passo 3

Calcular o fator integrante I(x). Usando
f(x)=\frac{1}{N}\big(\partial_{y}M-\partial_{x}N\big)=-\frac{3}{x+1},
temos
I(x)=\exp\!\left(\int f(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{3}{x+1}\,dx\right).
Integrando:
\int -\frac{3}{x+1}\,dx=-3\ln|x+1|.
Como o enunciado pede solução para x>-1, temos x+1>0 e |x+1|=x+1. Logo
I(x)=\exp\!\big(-3\ln(x+1)\big)=(x+1)^{-3}.
Portanto o fator integrante é (x+1)^{-3} (válido para x>-1).

Passo 4

Multiplico a equação original pelo fator integrante \mu(x)=(x+1)^{-3} para tornar a equação exata.
  • Multiplicando, obtemos a nova equação
\frac{x^{2}+y^{2}+1}{(x+1)^{3}}\,dx-\frac{x y+y}{(x+1)^{3}}\,dy=0.
  • Ou seja, as novas funções são
\widetilde{M}(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{(x+1)^{3}},\qquad \widetilde{N}(x,y)=-\frac{x y+y}{(x+1)^{3}}=-\frac{y}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Verifico que a equação multiplicada é exata, isto é, \partial_{y}\widetilde{M}=\partial_{x}\widetilde{N}.
  • Calcular \partial_{y}\widetilde{M}:
\partial_{y}\widetilde{M}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}+y^{2}+1}{(x+1)^{3}}\right)=\frac{2y}{(x+1)^{3}}.
  • Calcular \partial_{x}\widetilde{N} (tratando y como constante):
\partial_{x}\widetilde{N}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{y}{(x+1)^{2}}\right)=-y\cdot\frac{d}{dx}\big((x+1)^{-2}\big)=-y\cdot(-2)(x+1)^{-3}=\frac{2y}{(x+1)^{3}}.
  • Como \partial_{y}\widetilde{M}=\partial_{x}\widetilde{N}, a equação é exata.

Passo 6

Agora existe função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y),\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y).
Vou integrar \widetilde{M} em relação a x (tratando y como constante) para obter \Psi até uma função de y.
Começo integrando
\int \widetilde{M}\,dx=\int \frac{x^{2}+y^{2}+1}{(x+1)^{3}}\,dx.
Faço a mudança t=x+1 (portanto dt=dx e x^{2}= (t-1)^{2}):
x^{2}+y^{2}+1=(t-1)^{2}+y^{2}+1=t^{2}-2t+(2+y^{2}).
Assim o integrando fica
\frac{t^{2}-2t+(2+y^{2})}{t^{3}}=t^{-1}-2t^{-2}+(2+y^{2})t^{-3}.
Integro termo a termo:
\int \left(t^{-1}-2t^{-2}+(2+y^{2})t^{-3}\right)\,dt = \ln|t| + 2t^{-1} -\frac{2+y^{2}}{2}t^{-2} + H(y),
onde H(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Voltando a x com t=x+1, obtenho
\Psi(x,y)=\ln(x+1)+\frac{2}{x+1}-\frac{2+y^{2}}{2(x+1)^{2}}+H(y).

Passo 7

Determino H(y) usando a condição \partial \Psi/\partial y=\widetilde{N}(x,y).
  • Calculo \partial \Psi/\partial y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\ln(x+1)+\frac{2}{x+1}-\frac{2+y^{2}}{2(x+1)^{2}}+H(y)\right) = -\frac{2y}{2(x+1)^{2}}+H'(y) = -\frac{y}{(x+1)^{2}}+H'(y).
  • Mas devemos ter \partial \Psi/\partial y=\widetilde{N}(x,y)=-\dfrac{y}{(x+1)^{2}}. Igualando:
-\frac{y}{(x+1)^{2}}+H'(y)=-\frac{y}{(x+1)^{2}}.
Isso implica H'(y)=0, portanto H(y) é constante: H(y)=C.

Passo 8

Concluo que a função potencial é
\Psi(x,y)=\ln(x+1)+\frac{2}{x+1}-\frac{2+y^{2}}{2(x+1)^{2}}+C.
A solução geral implícita da equação exata é \Psi(x,y)=\text{constante}. Posso escrever a solução mais simplesmente omitindo o +C na expressão e colocando toda a expressão igual a uma constante arbitrária C.

Resposta

\displaystyle \ln(x+1)+\frac{2}{x+1}-\frac{2+y^{2}}{2(x+1)^{2}}=C

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