Utilizando o fator integrante do tipo,
[2.]
função de apenas uma variável. Determine a solução geral da EDO não linear,
[2.]
função de apenas uma variável. Determine a solução geral da EDO não linear,
Passo 1
Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial dada é
- Colocando na forma padrão
, temos
- O enunciado sugere usar um fator integrante do tipo
ou seja, esse
deve depender apenas de
.
- O objetivo: achar a solução geral implícita da EDO para
.
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais
e
e verificar se a razão indicada depende só de
.
- Calcular
:
- Calcular
. Lembrando que e tratando como constante ao derivar em relação a :
- Agora a diferença:
- Dividindo por
:
Observe que o fator
cancelou; portanto a razão é uma função apenas de
, conforme exigido. Assim podemos aplicar o fator integrante proposto.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Usando
temos
Integrando:
Como o enunciado pede solução para
, temos
e
. Logo
Portanto o fator integrante é
(válido para
).
Passo 4
Multiplico a equação original pelo fator integrante
para tornar a equação exata.
- Multiplicando, obtemos a nova equação
- Ou seja, as novas funções são
Passo 5
Verifico que a equação multiplicada é exata, isto é,
.
- Calcular
:
- Calcular
(tratando como constante):
- Como
, a equação é exata.
Passo 6
Agora existe função potencial
tal que
Vou integrar
em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma função de
.
Começo integrando
Faço a mudança
(portanto
e
):
Assim o integrando fica
Integro termo a termo:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Voltando a
com
, obtenho
Passo 7
Determino
usando a condição
.
- Calculo
:
- Mas devemos ter
. Igualando:
Isso implica
, portanto
é constante:
.
Passo 8
Concluo que a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata é
. Posso escrever a solução mais simplesmente omitindo o
na expressão e colocando toda a expressão igual a uma constante arbitrária
.