Utilizando a fórmula A(D)=\oint_{\partial D} x d y, calcule a área das seguintes regiões:
D é a região limitada pela elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
usando a fórmula de linha
A(D)=\oint_{\partial D}x\,dy.
Vamos parametrizar a fronteira e calcular esse integral.

Passo 2

Escolhemos a parametrização no sentido anti-horário
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Assim
dy = b\cos t\,dt.

Passo 3

Substituímos em x\,dy:
x\,dy = \bigl(a\cos t\bigr)\bigl(b\cos t\,dt\bigr) =ab\cos^2 t\,dt.

Passo 4

Integramos de 0 a 2\pi:
A(D) =\int_{0}^{2\pi}ab\cos^2 t\,dt =ab\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =ab\cdot\frac{1}{2}\bigl[2\pi+0\bigr] =\pi ab.

Resposta

\displaystyle \pi ab

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