Determine a massa e o momento de inércia, em torno de um diâmetro, do fio
, com densidade
. (resp.:
e
)
Passo 1
O enunciado descreve um fio em forma de círculo
com densidade linear
. Precisamos calcular a massa
e o momento de inércia em torno de um diâmetro
, que, escolhendo o diâmetro como o eixo
, fica
Usaremos a parametrização circular e a simetria para avaliar as integrais.
Passo 2
Parametrizamos
por
Nesse caso
e a densidade fica
Passo 3
A massa é
Pela simetria,
Logo
Passo 4
O momento de inércia em torno do eixo
é
Usando simetria em quatro quadrantes,
Passo 5
Calculemos separadamente
Para o primeiro, seja
,
, então
Para o segundo, usa-se redução ou integral direta:
Assim
e