Determine a massa e o momento de inércia, em torno de um diâmetro, do fio \gamma: x^{2}+y^{2}=a^{2}, com densidade \sigma(x, y)=|x|+|y|. (resp.: \quad m=8 a^{2} e I_{L}=4 a^{4} )

Passo 1

O enunciado descreve um fio em forma de círculo \gamma\colon x^{2}+y^{2}=a^{2} com densidade linear \sigma(x,y)=|x|+|y|. Precisamos calcular a massa
m=\int_{\gamma}\sigma\,ds
e o momento de inércia em torno de um diâmetro L, que, escolhendo o diâmetro como o eixo x, fica
I_L=\int_{\gamma}y^{2}\,\sigma\,ds.
Usaremos a parametrização circular e a simetria para avaliar as integrais.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Nesse caso
ds=\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}\,dt =a\,dt,
e a densidade fica
\sigma(a\cos t,a\sin t) =a\bigl(|\cos t|+|\sin t|\bigr).

Passo 3

A massa é
m=\int_{0}^{2\pi}\sigma\,ds =\int_{0}^{2\pi}a\bigl(|\cos t|+|\sin t|\bigr)\,a\,dt =a^{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(|\cos t|+|\sin t|\bigr)\,dt.
Pela simetria,
\int_{0}^{2\pi}|\cos t|\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,dt =4, \quad \int_{0}^{2\pi}|\sin t|\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,dt =4.
Logo
m=a^{2}(4+4)=8\,a^{2}.

Passo 4

O momento de inércia em torno do eixo x é
I_L =\int_{\gamma}y^{2}\,\sigma\,ds =\int_{0}^{2\pi}(a\sin t)^{2}\,\bigl[a(|\cos t|+|\sin t|)\bigr]\,a\,dt =a^{4}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\bigl(|\cos t|+|\sin t|\bigr)\,dt.
Usando simetria em quatro quadrantes,
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,\bigl(|\cos t|+|\sin t|\bigr)\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\,(\cos t+\sin t)\,dt.

Passo 5

Calculemos separadamente
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos t\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt.
Para o primeiro, seja u=\sin t, du=\cos t\,dt, então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos t\,dt =\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\tfrac{1}{3}.
Para o segundo, usa-se redução ou integral direta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt =\tfrac{2}{3}.
Assim
4\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\Bigr)=4\cdot1=4,
e
I_L =a^{4}\cdot4 =4\,a^{4}.

Resposta

m=8\,a^{2} I_{L}=4\,a^{4}

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