Seja f(x, y) uma função contínua sobre um arco regular \gamma de comprimento L. Se |f(x, y)| \leq M, em todos os pontos (x, y) do arco \gamma, mostre que:
Passo 1
Temos uma função contínua f(x,y) definida sobre um arco regular \gamma de comprimento L, e sabemos que em todo ponto (x,y)\in\gamma vale \bigl|f(x,y)\bigr|\le M. Queremos mostrar que a integral de linha de f ao longo de \gamma satisfaz
\Bigl|\int_{\gamma}f(x,y)\,ds\Bigr|\;\le\;M\,L.
Passo 2
Como \gamma é um arco regular, podemos parametrizá-lo por \mathbf r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], com \mathbf r'(t)\neq\mathbf0. Nesse caso