1. Seja f(x, y) uma função contínua sobre um arco regular \gamma de comprimento L. Se |f(x, y)| \leq M, em todos os pontos (x, y) do arco \gamma, mostre que:

Passo 1

Temos uma função contínua f(x,y) definida sobre um arco regular \gamma de comprimento L, e sabemos que em todo ponto (x,y)\in\gamma vale \bigl|f(x,y)\bigr|\le M. Queremos mostrar que a integral de linha de f ao longo de \gamma satisfaz
\Bigl|\int_{\gamma}f(x,y)\,ds\Bigr|\;\le\;M\,L.

Passo 2

Como \gamma é um arco regular, podemos parametrizá-lo por \mathbf r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], com \mathbf r'(t)\neq\mathbf0. Nesse caso
ds = \bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt \quad\text{e}\quad \int_{\gamma}f(x,y)\,ds =\int_{a}^{b}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 3

Aplicando valor absoluto na integral e usando a desigualdade triangular dentro do integral, obtemos
\Bigl|\int_{\gamma}f\,ds\Bigr| =\Bigl|\int_{a}^{b}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt\Bigr| \le\int_{a}^{b}\bigl|f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\bigr|\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt.

Passo 4

Como \bigl|f(x(t),y(t))\bigr|\le M para todo t, segue
\int_{a}^{b}\bigl|f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\bigr|\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt \le\int_{a}^{b}M\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt =M\int_{a}^{b}\|\mathbf r'(t)\|\,dt.
Mas \displaystyle\int_{a}^{b}\|\mathbf r'(t)\|\,dt é exatamente o comprimento L do arco \gamma.

Resposta

\Bigl|\int_{\gamma}f(x,y)\,ds\Bigr|\;\le\;M\,L.

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