Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{x^{2} \cdot \operatorname{sen} x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x^{2}\,\operatorname{sen} x}{e^{x}}
Usaremos a regra do quociente, que diz
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}},
e, para calcular u'(x), aplicaremos também a regra do produto e as derivadas de x^{2}, de \operatorname{sen} x e de e^{x}.

Passo 2

Defina
u(x) = x^{2}\,\operatorname{sen} x \quad\text{e}\quad v(x) = e^{x}.
Para obter u'(x), use a regra do produto:
u'(x) = (x^{2})'\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,(\operatorname{sen} x)' = 2x\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,\cos x.

Passo 3

A derivada de v(x) é simples, pois
v'(x) = (e^{x})' = e^{x}.

Passo 4

Agora aplique a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} = \frac{\bigl(2x\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,\cos x\bigr)\,e^{x} \;-\; x^{2}\,\operatorname{sen} x \,e^{x}}{(e^{x})^{2}}.

Passo 5

No numerador fatoramos e^{x} e, ao dividir por (e^{x})^{2}, cancelamos uma das potências de e^{x}:
f'(x) = \frac{e^{x}\,\bigl(2x\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,\cos x - x^{2}\,\operatorname{sen} x\bigr)}{e^{2x}} = \frac{2x\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,\cos x - x^{2}\,\operatorname{sen} x}{e^{x}}.
Podemos também agrupar termos em x:
f'(x) = \frac{x\bigl(2\,\operatorname{sen} x + x\,\cos x - x\,\operatorname{sen} x\bigr)}{e^{x}}.

Resposta

f'(x) = \frac{2x\,\operatorname{sen} x + x^{2}\,\cos x - x^{2}\,\operatorname{sen} x}{e^{x}} \quad\text{ou}\quad f'(x) = \frac{x\bigl(2\,\operatorname{sen} x + x\,\cos x - x\,\operatorname{sen} x\bigr)}{e^{x}}.

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