Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sin x}
usando a fórmula da derivada do quociente. Aqui o conteúdo é a regra do quociente, que diz como derivar uma função da forma \tfrac{u(x)}{v(x)}.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas no quociente:
u(x)=1
v(x)=\sin x

Passo 3

A fórmula da derivada do quociente é
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)' = \frac{v\,u' - u\,v'}{v^2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=0,
v'(x)=\cos x.

Passo 5

Substituindo na fórmula do quociente e simplificando:
f'(x) =\frac{\sin x\cdot 0 - 1\cdot \cos x}{(\sin x)^2} =-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

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