Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} x+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\tan x}{\sin x+\cos x}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente. Para aplicá-la, precisamos conhecer as derivadas:
\frac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^2 x,
\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x e
\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x.

Passo 2

Definimos
u(x)=\tan x, \quad v(x)=\sin x+\cos x.
Então
u'(x)=\operatorname{sec}^2 x, \quad v'(x)=\cos x - \sin x.

Passo 3

A regra do quociente diz
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 4

Substituindo u,v,u',v' na fórmula:
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x\;(\sin x+\cos x)\;-\;\tan x\;(\cos x-\sin x)} {(\sin x+\cos x)^2}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador. Primeiro, escrevendo tudo sobre potências de \cos x:
\operatorname{sec}^2 x(\sin x+\cos x) =\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{1}{\cos x}, \quad \tan x(\cos x-\sin x) =\frac{\sin x}{\cos x}(\cos x-\sin x) =\sin x-\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Subtraindo esses termos e reduzindo:
\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{1}{\cos x} \;-\;\Bigl(\sin x-\frac{\sin^2 x}{\cos x}\Bigr) =\frac{\sin^3 x+(1+\sin^2 x)\cos x}{\cos^2 x}.

Passo 6

Portanto a derivada fica
f'(x) =\frac{\displaystyle \sin^3 x+(1+\sin^2 x)\cos x} {\displaystyle \cos^2 x\;(\sin x+\cos x)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{\sin^3 x+(1+\sin^2 x)\cos x} {\cos^2 x\,(\sin x+\cos x)^2}.

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