Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=\frac{1+\operatorname{Sen}(x)}{1-\operatorname{Cos}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \frac{1 + \sin x}{1 - \cos x}
Usaremos a regra do quociente e as fórmulas \frac{d}{dx}\sin x = \cos x e \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 + \sin x, \quad v(x) = 1 - \cos x.
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u'(x) = \cos x, \quad v'(x) = \sin x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = \frac{v(x)\,u'(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 4

Substituindo u,u',v,v':
f'(x) = \frac{(1 - \cos x)\cos x \;-\;(1 + \sin x)\sin x}{(1 - \cos x)^2}.

Passo 5

No numerador expandimos e usamos \sin^2 x + \cos^2 x = 1:
(1 - \cos x)\cos x - (1 + \sin x)\sin x = \cos x - \cos^2 x - \sin x - \sin^2 x = \cos x - 1 - \sin x.
Portanto
f'(x) = \frac{\cos x - \sin x - 1}{(1 - \cos x)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{\cos x - \sin x - 1}{(1 - \cos x)^2}.

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