Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=3 \operatorname{Sec}(x) \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3\operatorname{sec}(x)\tan(x).
O conteúdo envolve a regra do produto e as fórmulas de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Extraímos o fator constante 3 e aplicamos a regra do produto a
u(x)=\operatorname{sec}(x),\quad v(x)=\tan(x).
Assim,
f'(x)=3\bigl(u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\bigr).

Passo 3

Usamos as fórmulas
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x), \qquad \frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 4

Substituindo na regra do produto,
f'(x) =3\Bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\cdot\tan(x)+\operatorname{sec}(x)\cdot\operatorname{sec}^2(x)\Bigr) =3\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan^2(x)+\operatorname{sec}^3(x)\bigr).

Passo 5

Fatorando \operatorname{sec}(x) e usando \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x),
\operatorname{sec}(x)\tan^2(x)+\operatorname{sec}^3(x) =\operatorname{sec}(x)\bigl(\tan^2(x)+\operatorname{sec}^2(x)\bigr) =\operatorname{sec}(x)\bigl(2\tan^2(x)+1\bigr).

Resposta

f'(x)=3\operatorname{sec}(x)\bigl(2\tan^2(x)+1\bigr).

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