b) Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de onda normalizada chamada
e queremos calcular o valor esperado da energia total desse estado. Para isso, vamos usar a fórmula:
Aqui,
é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema. No nosso caso, ele é dado por:
Então, vamos precisar conhecer a função de onda
, realizar a derivada segunda dela, multiplicar pela função original e integrar de 0 até L. Além disso, vamos comparar o resultado obtido com o valor exato da energia do estado fundamental
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da função de onda normalizada para o estado fundamental em uma caixa de potencial infinito de largura
. A função é:
Essa função está normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula entre 0 e L é 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador Hamiltoniano
na função
. Isso envolve calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Depois, a segunda derivada:
Passo 4
Substituindo a segunda derivada na expressão do operador Hamiltoniano:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado da energia total:
Como a função de onda está normalizada, sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos comparar esse resultado com o valor exato da energia do estado fundamental
. Na verdade, eles são iguais, já que a energia esperada para o estado fundamental em uma caixa de potencial infinito é exatamente:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a porcentagem de diferença entre o valor esperado da energia e o valor exato:
Resposta
A diferença percentual entre o valor esperado da energia total e o valor exato da energia do estado fundamental é
.