Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(m) integral cos (t) cos ^5(sen(t)) d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede: calcular a integral indefinida integral cos(t),cos^5(sin(t)),dt. O conteúdo principal aqui é usar substituição de variáveis junto com identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição u=sin(t). Então du=cos(t),dt. Dessa forma, a integral original se transforma em
integral cos^5(sin(t))cos(t),dt = integral cos^5(u),du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral cos^5(u),du. Usamos a identidade cos^2(u)=1-sin^2(u) e escrevemos
cos^5(u)=cos^4(u)cos(u)=l(cos^2(u)r)^2cos(u)=l(1-sin^2(u)r)^2cos(u)

Passo 4

Aplicamos uma nova substituição: v=sin(u), logo dv=cos(u),du. A integral torna-se
integral cos^5(u),du = integral (1-v^2)^2,dv = integral (1 - 2v^2 + v^4),dv

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral (1 - 2v^2 + v^4),dv = v - 23v^3 + 15v^5 + C

Passo 6

Voltando às variáveis anteriores: primeiro v=sin(u), depois u=sin(t). Assim,
v = sin(u)=sinl(sin(t)r),

Passo 7

logo a primitiva final é
sinl(sin(t)r) - tfrac23,sin^3l(sin(t)r) + tfrac15,sin^5l(sin(t)r) + C

Resposta

sinl(sin(t)r) - 23,sin^3l(sin(t)r) + 15,sin^5l(sin(t)r) + C

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