Calcule a derivada das seguintes funções vetoriais de uma variável real.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de cinco funções vetoriais de uma variável real. O conteúdo é derivação componente a componente de funções elementares (trigonométricas, exponenciais, logaritmos e raízes) usando chain rule, product rule e quotient rule.
Passo 2
Para derivar uma função vetorial
tu faz componente a componente:
Para cada componente aplicamos, conforme o caso, a regra da cadeia, produto ou quociente, além das derivadas padrão:
tu faz componente a componente:
Para cada componente aplicamos, conforme o caso, a regra da cadeia, produto ou quociente, além das derivadas padrão:
Passo 3
Para a)
Usando chain rule em
e derivada de logaritmo em
obtém-se
e portanto
Usando chain rule em
e derivada de logaritmo em
obtém-se
e portanto
Passo 4
Para b)
Na primeira componente use chain rule em
e na segunda product rule em
resultando em
eu seja
Na primeira componente use chain rule em
e na segunda product rule em
resultando em
eu seja
Passo 5
Para c)
Na 1ª componente use product rule e chain rule:
Na 2ª componente
encontra-se
e na 3ª
Assim
Na 1ª componente use product rule e chain rule:
Na 2ª componente
encontra-se
e na 3ª
Assim
Passo 6
Para d)
Derivando cada parte:
\(
(2e{-t2})’=-4t e{-t2},
Derivando cada parte:
\(
(2e{-t2})’=-4t e{-t2},
(t^2)’=2t,
(\ln(1-t))’=-\frac1{1-t}.
\)
Logo
\)
Logo
Passo 7
Para e)
Na 1ª componente
pois chain rule em ln(−t). Na 2ª use quotient rule com
leva a
Portanto
Na 1ª componente
pois chain rule em ln(−t). Na 2ª use quotient rule com
leva a
Portanto
Resposta
a)
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
b)
c)
d)
e)