Calcule a derivada das seguintes funções vetoriais de uma variável real.
a) f(t)=(cos (t^2), ln (t));
b) f(t)=(raizt^3+2, t^2 e^pi t);
c) f(t)=(cos (pi t) sen(pi t),-ln (2 t+1), raizt-2);
d) f(t)=(2 e^-t^2, t^2, ln (1-t));
e) f(t)=(ln (-t), e^7 tt^2-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cinco funções vetoriais de uma variável real. O conteúdo é derivação componente a componente de funções elementares (trigonométricas, exponenciais, logaritmos e raízes) usando chain rule, product rule e quotient rule.

Passo 2

Para derivar uma função vetorial
tu faz componente a componente:
Para cada componente aplicamos, conforme o caso, a regra da cadeia, produto ou quociente, além das derivadas padrão:

Passo 3

Para a)
Usando chain rule em
e derivada de logaritmo em
obtém-se

e portanto

Passo 4

Para b)
Na primeira componente use chain rule em
e na segunda product rule em
resultando em

eu seja

Passo 5

Para c)
Na 1ª componente use product rule e chain rule:

Na 2ª componente
encontra-se

e na 3ª

Assim

Passo 6

Para d)
Derivando cada parte:
\(
(2e{-t2})’=-4t e{-t2},
(t^2)’=2t,
(\ln(1-t))’=-\frac1{1-t}.
\)
Logo

Passo 7

Para e)
Na 1ª componente

pois chain rule em ln(−t). Na 2ª use quotient rule com

leva a

Portanto

Resposta

a) vec f,'(t)=(-2tsin(t^2),,1/t);
b) vec f,'(t)=l(3t^22raizt^3+2,,e^pi t(2t+pi t^2)r);
c) vec f,'(t)=(picos(2pi t),,-22t+1,,12raizt-2);
d) vec f,'(t)=(-4t e^-t^2,,2t,,-11-t);
e) vec f,'(t)=(1/t,,e^7t(7t^2-2t-7)(t^2-1)^2).

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