Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
O enunciado pede pra determinar se a integral imprópria de
converge ou diverge; o assunto é integrais impróprias e vamos usar antiderivadas.
Passo 2
Precisamos tratar o ponto
onde
explode. Definimos a integral como limite:
[\n\int_{0}^{\pi/2} \sec^2 x,dx = \lim_{b\to\pi/2-}\int_{0}{b} \sec^2 x,dx\n]
[\n\int_{0}^{\pi/2} \sec^2 x,dx = \lim_{b\to\pi/2-}\int_{0}{b} \sec^2 x,dx\n]
Passo 3
A antiderivada de
é
, pois sabemos que d(\tan x)/dx=\sec^2 x.
Passo 4
Agora avaliamos o limite:
[\n\lim_{b\to\pi/2^-} (\tan b - \tan 0) = \lim_{b\to\pi/2^-} \tan b = +\infty\n]
[\n\lim_{b\to\pi/2^-} (\tan b - \tan 0) = \lim_{b\to\pi/2^-} \tan b = +\infty\n]
Passo 5
Como o valor tende a infinito, a integral não se fecha num valor finito.
Resposta
Diverge