Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^pi / 2 sec ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede pra determinar se a integral imprópria de integral0^pi/2 sec^2 x,dx converge ou diverge; o assunto é integrais impróprias e vamos usar antiderivadas.

Passo 2

Precisamos tratar o ponto x=pi/2 onde sec x=1/cos x explode. Definimos a integral como limite:
[\n\int_{0}^{\pi/2} \sec^2 x,dx = \lim_{b\to\pi/2-}\int_{0}{b} \sec^2 x,dx\n]

Passo 3

A antiderivada de sec^2 x tan x, pois sabemos que d(\tan x)/dx=\sec^2 x.

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
[\n\lim_{b\to\pi/2^-} (\tan b - \tan 0) = \lim_{b\to\pi/2^-} \tan b = +\infty\n]

Passo 5

Como o valor tende a infinito, a integral não se fecha num valor finito.

Resposta

Diverge

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