Utilizando Integral Dupla, calcule a área do conjunto
limitado pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área do subconjunto
limitado pelas curvas
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- As curvas que limitam
são , e . - A tarefa é encontrar a área da região fechada por essas três curvas.
Passo 2
Estratégia e lembrança teórica (passo-a-passo didático):
- A área de uma região
no plano pode ser calculada por uma integral dupla
- Uma forma prática é usar fatias horizontais: para cada
entre e a interseção da região com a reta horizontal é um intervalo em de até . Então
- Aqui vou usar essa abordagem porque para esta região é simples escrever
em função de nas curvas envolvidas (a reta dá e a cúbica dá ), o que torna a integral direta.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção das curvas (vou resolver cada par):
- Interseção entre
e :
Portanto um ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e :
Portanto um ponto de interseção é
.
- Interseção entre
e :
Como
para todo
, a única solução real é
. Substituindo em
dá
. Logo o ponto de interseção é
.
Com isso vemos que a região fechada tem vértices (no sentido superior da fronteira) em
,
e ponto inferior em
. O valor mínimo de
na região é
e o máximo é
.
Passo 4
Determinar, para um dado
em
, as abscissas esquerda e direita da região:
- Da curva
isolamos : . - Da curva
isolamos : .
Paraem temos , portanto a abscissa esquerda é
e a abscissa direita é
Logo, em cada altura
a largura horizontal da região é
.
Passo 5
Montar e calcular a integral de área:
Agora calculo primitivadas termo a termo.
- Para
, uma primitiva é , porque ao derivar obtém-se . - Para
, a primitiva é .
Portanto a antiderivada da soma é
Avalio entre
e
:
Calcular
:
logo
Somando,
E
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- A região foi corretamente descrita por fatias horizontais de
a . - As funções usadas para as bordas esquerda e direita são
e , respectivamente. - O cálculo das primitivas e a avaliação em
foram feitos explicitamente (mostrei ). - Resultado consistente e numérico simples:
.