Utilizando Integral Dupla, calcule a área do conjunto B \subset \mathbb{R}^{2} limitado pelas curvas y=-x, y=x^{3} e y=8.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do subconjunto B\subset\mathbb{R}^2 limitado pelas curvas y=-x, y=x^{3} e y=8.
Informações relevantes fornecidas:
  • As curvas que limitam B são y=-x, y=x^{3} e y=8.
  • A tarefa é encontrar a área da região fechada por essas três curvas.

Passo 2

Estratégia e lembrança teórica (passo-a-passo didático):
  • A área de uma região B no plano pode ser calculada por uma integral dupla
\text{Área}(B)=\iint_{B} dA.Á
  • Uma forma prática é usar fatias horizontais: para cada y entre y_{\min} e y_{\max} a interseção da região com a reta horizontal y=\text{const} é um intervalo em x de x_{\text{esq}}(y) até x_{\text{dir}}(y). Então
\text{Área}(B)=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{dir}}(y)-x_{\text{esq}}(y)\bigr)\,dy.Á
  • Aqui vou usar essa abordagem porque para esta região é simples escrever x em função de y nas curvas envolvidas (a reta dá x=-y e a cúbica dá x=\sqrt[3]{y}), o que torna a integral direta.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção das curvas (vou resolver cada par):
  1. Interseção entre y=x^{3} e y=8:
x^{3}=8 \quad\Rightarrow\quad x= \sqrt[3]{8}=2.
Portanto um ponto de interseção é (2,8).
  1. Interseção entre y=-x e y=8:
-x=8 \quad\Rightarrow\quad x=-8.
Portanto um ponto de interseção é (-8,8).
  1. Interseção entre y=x^{3} e y=-x:
x^{3}=-x \quad\Rightarrow\quad x^{3}+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{2}+1)=0.
Como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, a única solução real é x=0. Substituindo em y=x^{3} y=0. Logo o ponto de interseção é (0,0).
Com isso vemos que a região fechada tem vértices (no sentido superior da fronteira) em (-8,8), (2,8) e ponto inferior em (0,0). O valor mínimo de y na região é y_{\min}=0 e o máximo é y_{\max}=8.

Passo 4

Determinar, para um dado y em [0,8], as abscissas esquerda e direita da região:
  • Da curva y=-x isolamos x: x=-y.
  • Da curva y=x^{3} isolamos x: x=\sqrt[3]{y}.
    Para y em [0,8] temos -y\le 0\le \sqrt[3]{y}, portanto a abscissa esquerda é
x_{\text{esq}}(y) = -y
e a abscissa direita é
x_{\text{dir}}(y) = \sqrt[3]{y}.
Logo, em cada altura y\in[0,8] a largura horizontal da região é \sqrt[3]{y}-(-y)=\sqrt[3]{y}+y.

Passo 5

Montar e calcular a integral de área:
\text{Área}(B)=\int_{0}^{8}\bigl(\sqrt[3]{y}+y\bigr)\,dy.Á
Agora calculo primitivadas termo a termo.
  • Para \sqrt[3]{y}=y^{1/3}, uma primitiva é \dfrac{3}{4}y^{4/3}, porque ao derivar \dfrac{3}{4}y^{4/3} obtém-se \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}y^{1/3}=y^{1/3}.
  • Para y, a primitiva é \dfrac{1}{2}y^{2}.
Portanto a antiderivada da soma é
F(y)=\frac{3}{4}y^{4/3}+\frac{1}{2}y^{2}.
Avalio entre 0 e 8:
\text{Área}(B)=F(8)-F(0).Á
Calcular F(8):
8^{4/3}=\bigl(8^{1/3}\bigr)^{4}=2^{4}=16,
logo
\frac{3}{4}\cdot 8^{4/3}=\frac{3}{4}\cdot 16=12, \qquad \frac{1}{2}\cdot 8^{2}=\frac{1}{2}\cdot 64=32.
Somando,
F(8)=12+32=44.
E F(0)=0. Portanto
\text{Área}(B)=44.Á

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • A região foi corretamente descrita por fatias horizontais de y=0 a y=8.
  • As funções usadas para as bordas esquerda e direita são x=-y e x=\sqrt[3]{y}, respectivamente.
  • O cálculo das primitivas e a avaliação em y=8 foram feitos explicitamente (mostrei 8^{4/3}=16).
  • Resultado consistente e numérico simples: \text{Área}(B)=44Á.

Resposta

\,44\,

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