Calcule as integrais iteradas a seguir.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x+x^{2} \cos y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(x + x^{2}\cos y\bigr)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites internos (variável y) vão de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • Os limites externos (variável x) vão de 0 a 2.
  • A função a ser integrada é x + x^{2}\cos y, que depende de x e y.
O que se pede: avaliar explicitamente essa integral iterada, ou seja, primeiro integrar em y (de 0 a \tfrac{\pi}{2}) mantendo x fixo, e depois integrar o resultado em x (de 0 a 2).

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: integrar em y (a integral interna). Aqui é importante entender que, quando integramos em y, tratamos x como constante, porque x não depende de y.
Escrevendo a integral interna:
I(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(x + x^{2}\cos y\bigr)\,dy.
Podemos separar a integral em duas, usando linearidade da integral:
I(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\,dy \;+\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\cos y\,dy.

Passo 3

Agora calculamos cada termo separadamente, lembrando que x e x^{2} são constantes em relação a y.
  1. Para \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\,dy: a integral de uma constante x em y é x vezes o comprimento do intervalo em y. Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\,dy = x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\frac{\pi}{2}\,x.
  1. Para \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\cos y\,dy: fatoramos x^{2} para fora da integral (já que é constante em y) e lembramos que uma primitiva de \cos y é \sin y. Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\cos y\,dy = x^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos y\,dy = x^{2}\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Calculando o valor da primitiva nos limites:
\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
Logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\cos y\,dy = x^{2}\cdot 1 = x^{2}.

Passo 4

Somando os dois resultados obtemos a integral interna simplificada:
I(x)=\frac{\pi}{2}\,x + x^{2}.
Agora substituímos isso na integral externa e calculamos a integral em x:
\int_{0}^{2} I(x)\,dx = \int_{0}^{2}\left(\frac{\pi}{2}\,x + x^{2}\right)\,dx.
Usamos a linearidade novamente e a regra do poder para integrar potências: uma primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2} e de x^{2} é \tfrac{x^{3}}{3}. Assim
\int_{0}^{2}\frac{\pi}{2}\,x\,dx = \frac{\pi}{2}\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}
e
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.

Passo 5

Calcule os valores numéricos das primitivas nos limites.
Para o primeiro termo:
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-0=\frac{4}{2}=2,
portanto
\frac{\pi}{2}\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{\pi}{2}\cdot 2=\pi.
Para o segundo termo:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-0=\frac{8}{3}.
Somando os dois termos obtemos o valor final da integral iterada:
\pi + \frac{8}{3}.

Resposta

\pi + \frac{8}{3}

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