Calcule as integrais iteradas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- Os limites internos (variável
) vão de a . - Os limites externos (variável
) vão de a . - A função a ser integrada é
, que depende de e .
O que se pede: avaliar explicitamente essa integral iterada, ou seja, primeiro integrar em
(de
a
) mantendo
fixo, e depois integrar o resultado em
(de
a
).
Passo 2
Primeiro passo de cálculo: integrar em
(a integral interna). Aqui é importante entender que, quando integramos em
, tratamos
como constante, porque
não depende de
.
Escrevendo a integral interna:
Podemos separar a integral em duas, usando linearidade da integral:
Passo 3
Agora calculamos cada termo separadamente, lembrando que
e
são constantes em relação a
.
- Para
: a integral de uma constante em é vezes o comprimento do intervalo em . Portanto
- Para
: fatoramos para fora da integral (já que é constante em ) e lembramos que uma primitiva de é . Assim
Calculando o valor da primitiva nos limites:
Logo
Passo 4
Somando os dois resultados obtemos a integral interna simplificada:
Agora substituímos isso na integral externa e calculamos a integral em
:
Usamos a linearidade novamente e a regra do poder para integrar potências: uma primitiva de
é
e de
é
. Assim
e
Passo 5
Calcule os valores numéricos das primitivas nos limites.
Para o primeiro termo:
portanto
Para o segundo termo:
Somando os dois termos obtemos o valor final da integral iterada: