Encontre o gradiente nabla f no ponto dado
f(x, y, z)=2 z^3-3(x^2+y^2+z^2)^-1 / 2+ln (x y z),(-1,2,-2)

Passo 1

O exercício pede para encontrar o gradiente nabla f da função f(x,y,z)=2z^3-3(x^2+y^2+z^2)^-1/2+ln(xyz) no ponto (-1,2,-2). Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e derivada de ln.

Passo 2

Para obter fx e fy, tratamos y,z e x,z como constantes, respectivamente. No termo -3(x^2+y^2+z^2)^-1/2 aplicamos a regra da cadeia e em ln(xyz) usamos partialln(xyz)/partial x=1/x e partialln(xyz)/partial y=1/y. Calculamos:
fx(x,y,z)=-3cdot(-tfrac12)(x^2+y^2+z^2)^-3/2cdot2x+1x=3x(x^2+y^2+z^2)^-3/2+1x,
fy(x,y,z)=3y(x^2+y^2+z^2)^-3/2+1y

Passo 3

Para obter fz, derivamos cada termo em relação a z:
fz(x,y,z)=6z^2-3cdot(-tfrac12)(x^2+y^2+z^2)^-3/2cdot2z+1z=6z^2+3z(x^2+y^2+z^2)^-3/2+1z

Passo 4

Agora avaliamos em (-1,2,-2). Primeiro calculemos r^2=x^2+y^2+z^2=(-1)^2+2^2+(-2)^2=9 e (r^2)^3/2=27. Substituindo:
fx(-1,2,-2)=3(-1)27+1-1=-19-1=-109,
fy(-1,2,-2)=3cdot227+12=29+12=1318,
fz(-1,2,-2)=6cdot4+3(-2)27+1-2=24-29-12=41918

Resposta

nabla f(-1,2,-2)=l(-tfrac109,,tfrac1318,,tfrac41918r)

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