Encontre vartheta^2 fvartheta x^2, vartheta^2 fvartheta y^2
f(x, y)=x sin y+e^y

Passo 1

A questão pede para encontrar as segundas derivadas parciais de
f(x,y)=x\sin y+e^{y}
ou seja
partial^2fpartial x^2 e partial^2fpartial y^2. Vamos usar derivadas parciais, tratando cada variável independentemente.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para x, mantendo y constante temos
partial fpartial x=sin y
Para y, tratando x como constante:
partial fpartial y=xcos y+e^y

Passo 3

Agora tiramos a segunda derivada parcial em relação a x. Como partial f/partial x=sin y não depende de x, sua derivada em relação a x é zero:
partial^2fpartial x^2=0

Passo 4

Por fim, calculamos a segunda derivada parcial em relação a y. Partindo de partial f/partial y=xcos y+e^y, derivamos em relação a y:
partial^2fpartial y^2=-xsin y+e^y

Resposta

partial^2fpartial x^2=0,partial^2fpartial y^2=-xsin y+e^y

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