Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão solicitada de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Vetor posição quando a partícula está próxima à superfície de um planeta de massa M .

Passo 1

O enunciado pede para usar a Lei Universal da Gravitação para deduzir a expressão do vetor força sobre uma partícula de massa m próxima à superfície de um planeta de massa M. O conteúdo envolvido é a força gravitacional em forma vetorial e sua aproximação para pequenas alturas em relação ao raio do planeta.

Passo 2

Pela Lei Universal da Gravitação, a força que o planeta exerce sobre a massa m em posição vec r (medida a partir do centro do planeta) é
vec F(vec r) ;=; -,G,M,mlvert vec rrvert^3;vec r,
onde G é a constante gravitacional e o sinal menos indica que vec F aponta no sentido de -vec r.

Passo 3

Se a partícula está a uma pequena altura z acima da superfície, então
vec r ;=;(R + z),hat er,
com R o raio do planeta e hat er o versor radial. Como zll R, temos
lvert vec rrvert = R + z Longrightarrow 1(R+z)^2 approx 1R^2 (mantendo só o termo de ordem zero em z) ó

Passo 4

Substituindo essa aproximação em vec F(vec r), obtemos
vec F ;approx; -,G,M,mR^2;hat er
Como definimos a aceleração da gravidade na superfície por
g ;=;G,MR^2,
segue que
vec F ;approx; -,m,g;hat er,
ou seja, o campo gravitacional é praticamente uniforme e vertical.

Resposta

boxedvec F ;=; -,m,g;hat er, g = G,MR^2,

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