*2/257 The guide with the vertical slot is given a horizontal oscillatory motion according to x=4 sin 2 t, where x is in inches and t is in seconds. The oscillation causes the pin P to move in the fixed parabolic slot whose shape is given by y=x^2 / 4, with y also in inches. Plot the magnitude v of the velocity of the pin as a function of time during the interval required for pin P to go from the center to the extremity x=4 in. Find and locate the maximum value of v and verify your results analytically.
Ans vmax =10 in / sec at t & =0.330 sec x & =2.45 in
Problem 2/257

Passo 1

O enunciado trata de cinemática paramétrica: o pino P se desloca obrigatoriamente ao longo do perfil parabólico fixo
y=x^24,
enquanto a guia impõe uma oscilação horizontal
x(t)=4sin(2t)(po<=gadas, segundos)
Queremos obter a velocidade do pino v=(dot x,dot y), seu módulo v(t), traçar v de x=0 até x=4 e achar analiticamente seu valor máximo e instante.

Passo 2

Expressamos as componentes de velocidade usando derivadas:
dot x(t)=ddtl[4sin(2t)r]=8cos(2t)
Como y=f(x)=x^2/4, pela regra da cadeia
dot y(t)=f'(x),dot x=x2,dot x =4sin(2t)2;(8cos(2t)) =16sin(2t)cos(2t)

Passo 3

O módulo da velocidade é
v(t)=raizdot x^2+dot y^2 =raiz(8cos2t)^2+l(16sin2tcos2tr)^2 =8l|cos2tr|raiz,1+4sin^2(2t),
No intervalo de interesse (do centro ao extremo direito) temos 0<= t<= pi/4, logo cos2t>=0 e podemos usar
v(t)=8cos2t;raiz1+4sin^2(2t)

Passo 4

Para achar extremos, definimos theta=2t, com 0<=theta<=pi/2, e
v(theta)=8costhetaraiz1+4sin^2theta
Derivando em relação a theta e anulando:
dvdtheta=0Longrightarrow sintheta,(3-8sin^2theta)=0
A solução não-trivial é
sin^2theta=38 Longrightarrow theta=arcsinraiztfrac38 Longrightarrow t=theta2=0,330 s

Passo 5

Substituindo sin^2theta=3/8 em v(theta):
vmax =8costhetaraiz1+4sin^2theta =8raiztfrac58;raiztfrac52 =10 po<=gadas/s
A coordenada x correspondente é
x=4sintheta=4raiztfrac38approx2,45 in

Resposta

vmax=10 in/s, em t=0,330 s, quando x=2,45 in.

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