Utilizando limites laterais, verifique se existem os limites a seguir. Caso o limite não exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow 1} f(x), onde f(x)=\left\{\begin{array}{lll}3 x-2 & \text { se } & x<1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x-2, & x<1,\\\\ 2x-1, & x\ge1, \end{cases}
e pede \lim_{x\to1}f(x). Para isso, vamos calcular os limites laterais \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x) e compará-los.

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda: quando x<1, vale f(x)=3x-2. Então
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(3x-2) =3\cdot1-2 =1.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita: quando x\ge1, vale f(x)=2x-1. Logo
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(2x-1) =2\cdot1-1 =1.

Passo 4

Como \lim_{x\to1^-}f(x)=1 e \lim_{x\to1^+}f(x)=1, os limites laterais coincidem. Portanto o limite de f(x) em x=1 existe e é igual a 1.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1.

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