Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}.
O conteúdo aplicado envolve propriedades de limites e fatoração de polinômios para eliminar indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Testando a substituição direta:
\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{8-8}{0}=\frac{0}{0},
que é indeterminado. Para resolver, vamos fatorar o numerador.

Passo 3

Usamos a diferença de cubos:
x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)\,(x^2+2x+4).
Para x\neq2,
\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2+2x+4.

Passo 4

Como x^2+2x+4 é contínuo,
\lim_{x\to2}(x^2+2x+4) = 2^2 + 2\cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Resposta

12

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