Utilizando o método dos coeficientes a determinar, obtenha a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois determinar uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e montamos a equação característica
As raízes são
Logo a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular
usamos o palpite padrão para forçantes do tipo
ou
, que é
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Isso deve ser igual a
, ou seja
Passo 5
Comparando coeficientes de
e
temos o sistema
Da primeira equação surge
. Da segunda vem
. Portanto
A solução geral da equação completa é a soma de
com
.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.