Utilizando o método dos coeficientes a determinar, obtenha a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas:
y^{\prime \prime}-5 y=\sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5\,y = \sin(2t).
Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e depois determinar uma solução particular para o termo não homogêneo \sin(2t).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h'' - 5\,y_h = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 5 = 0.
As raízes são
r = \pm \sqrt{5}.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1\,e^{\sqrt{5}\,t} + C_2\,e^{-\sqrt{5}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular y_p usamos o palpite padrão para forçantes do tipo \sin(2t) ou \cos(2t), que é
y_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
y_p''(t) = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Substituindo em y'' - 5y = \sin(2t) obtemos
(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)) -5(A\cos(2t)+B\sin(2t)) = (-9A)\cos(2t) +(-9B)\sin(2t).
Isso deve ser igual a \sin(2t), ou seja
(-9A)\cos(2t) +(-9B)\sin(2t) = 0\cdot\cos(2t) +1\cdot\sin(2t).

Passo 5

Comparando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t) temos o sistema
-9A = 0, \quad -9B = 1.
Da primeira equação surge A=0. Da segunda vem B = -\tfrac{1}{9}. Portanto
y_p(t) = 0\cdot\cos(2t) - \tfrac{1}{9}\sin(2t) = -\tfrac{1}{9}\sin(2t).
A solução geral da equação completa é a soma de y_h com y_p.

Resposta

y(t) = C_1\,e^{\sqrt{5}\,t} + C_2\,e^{-\sqrt{5}\,t} \;-\;\tfrac{1}{9}\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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