Utilizando o método dos coeficientes a determinar, obtenha a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo da matéria é solução de EDOs lineares por soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular. Vamos precisar usar:
- Característica da homogênea
. - Palpite polinomial para a parte não homogênea
.
Passo 2
Calculamos primeiro a solução complementar
. Da equação característica
vem
logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
por método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é um polinômio de grau 2 e zero não é raiz da característica, fazemos o palpite
Então
Substituindo em
obtemos
Expandindo e agrupando termos em potências de
:
Passo 4
Igualando coeficientes de cada potência de
:
-
:
-
:
- termo constante:
Assim
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.