Utilizando o método dos coeficientes a determinar, obtenha a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=t^{2}+t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = t^2 + t.
O conteúdo da matéria é solução de EDOs lineares por soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular. Vamos precisar usar:
  1. Característica da homogênea r^2 -4r+3=0.
  2. Palpite polinomial para a parte não homogênea t^2+t.

Passo 2

Calculamos primeiro a solução complementar y_c. Da equação característica
r^2 -4r +3 =0
vem
r =1 \quad\text{ou}\quad r=3,
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y_c = C_1 e^{t} + C_2 e^{3t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p por método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é um polinômio de grau 2 e zero não é raiz da característica, fazemos o palpite
y_p = At^2 + Bt + C.
Então
y_p' = 2A t + B, \qquad y_p'' = 2A.
Substituindo em y''-4y'+3y = t^2 + t obtemos
2A -4\,(2A t + B) +3\,(A t^2 + B t + C) = t^2 + t.
Expandindo e agrupando termos em potências de t:
3A\,t^2 +(-8A+3B)\,t + (2A -4B +3C) = t^2 + t.

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de t:
  1. t^2:
3A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac13.
  1. t^1:
-8A +3B = 1 \quad\Longrightarrow\quad -8\bigl(\tfrac13\bigr) +3B =1 \quad\Longrightarrow\quad 3B = \tfrac{11}{3} \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{11}{9}.
  1. termo constante:
2A -4B +3C = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(\tfrac13\bigr) -4\bigl(\tfrac{11}{9}\bigr) +3C =0 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{38}{9} +3C =0 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{38}{27}.
Assim
y_p = \tfrac13\,t^2 + \tfrac{11}{9}\,t + \tfrac{38}{27}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{3t} + \tfrac13\,t^2 + \tfrac{11}{9}\,t + \tfrac{38}{27},}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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