Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspita aplicar, explique o porquê.
lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x-1}.
Trata-se de um quociente que, ao substituir x=1, dá a forma indeterminada 0/0, então podemos aplicar a Regra de l’Hôspital.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao substituir x=1:
1^{3}-2\cdot1^{2}+1=0, \quad 1-1=0.
Como numerador e denominador vão a zero, a Regra de l’Hôspital vale, pois se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 com g'(x)\neq0 em torno de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
f'(x)=3x^{2}-4x, \quad g'(x)=1.
Logo
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{3x^{2}-4x}{1} =3\cdot1^{2}-4\cdot1 =-1.

Resposta

-1

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