Utilizando o método de derivação logarítmica, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{3 / 4} \cdot \sqrt{x^{2}+1}}{(3 x+2)^{5}}\\\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3/4}\,\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}}
usando derivação logarítmica, que é útil quando a função é produto e quociente de potências e radicais. A ideia é passar para \ln f(x), derivar ambos os lados e depois voltar para f'(x).

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln f(x)=\ln\bigl(x^{3/4}\bigr)+\ln\bigl((x^{2}+1)^{1/2}\bigr)-\ln\bigl((3x+2)^{5}\bigr).
Usando propriedades de logaritmo:
\ln f(x)=\frac{3}{4}\ln x+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)-5\ln(3x+2).

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}[\ln f(x)]=\frac{f'(x)}{f(x)}. No direito, usamos derivada de \ln:
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{3}{4}\,\frac{1}{x} +\frac{1}{2}\,\frac{2x}{x^{2}+1} -5\,\frac{3}{3x+2}.
Simplificando cada termo:
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{3}{4x} +\frac{x}{x^{2}+1} -\frac{15}{3x+2}.

Passo 4

Agora basta isolar f'(x):
f'(x) =f(x)\,\Bigl(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{15}{3x+2}\Bigr).
E substituímos f(x):
f'(x) =\frac{x^{3/4}\,\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}} \Bigl(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{15}{3x+2}\Bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{x^{3/4}\,\sqrt{x^{2}+1}}{(3x+2)^{5}} \Bigl(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{15}{3x+2}\Bigr).

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