4.Sejam F_{1} e F_{2} dois pontos do plano tais que d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 c>0 e a>0 um número real positivo.Considere o conjunto \mathcal{C}=\left\{P ;\left|d\left(P, F_{1}\right)-d\left(P, F_{2}\right)\right|=\right.2 a\} .Como foi visto no texto, \mathcal{C} é uma hipérbole se a<c .Determine o conjunto \mathcal{C} nos casos a=c e a>c .
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico \mathcal{C}=\{P\mid |d(P,F_{1})-d(P,F_{2})|=2a\},
onde d(F_{1},F_{2})=2c>0. Já sabemos que, se a<c, \mathcal{C} é uma hipérbole. Precisamos determinar \mathcal{C} nos casos a=c e a>c.
Passo 2
Pela desigualdade triangular aplicada aos pontos P,F_{1},F_{2} temos
|\,d(P,F_{1})-d(P,F_{2})\,|\le d(F_{1},F_{2})=2c.
Logo o valor máximo que |d(P,F_{1})-d(P,F_{2})| pode alcançar é 2c.
Passo 3
Caso a=c, queremos
|\,d(P,F_{1})-d(P,F_{2})\,|=2c.
Como a desigualdade triangular atinge igualdade somente quando P,F_{1},F_{2} são colineares e P está “além” de um dos focos, segue que \mathcal{C} é a união de duas semi-retas sobre a reta que contém F_{1}F_{2}:
\mathcal{C}=\{P\in\overleftrightarrow{F_{1}F_{2}}\mid P\text{ está no prolongamento de }F_{2}F_{1}\text{ além de }F_{2}\} \;\cup\; \{P\in\overleftrightarrow{F_{1}F_{2}}\mid P\text{ está no prolongamento de }F_{1}F_{2}\text{ além de }F_{1}\}.
Passo 4
Caso a>c, o valor requerido 2a é maior que o máximo 2c permitido pela desigualdade triangular. Portanto não existe ponto P que satisfaça
|\,d(P,F_{1})-d(P,F_{2})\,|=2a>2c,
e assim \mathcal{C}=\varnothing.
Resposta
Para a=c, \mathcal{C} é a união das duas semi-retas que se obtêm estendendo o segmento F_{1}F_{2} além de cada foco.
Para a>c, \mathcal{C} é o conjunto vazio.