5.Mostre que uma hipérbole não intersecta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a hipérbole
\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
não intercepta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto. O conteúdo é geometria analítica, envolvendo equação de hipérbole e suas retas assintóticas.

Passo 2

Identificamos as assíntotas da hipérbole canônica. São as retas
y = \frac{b}{a}\,x
e
y = -\frac{b}{a}\,x.

Passo 3

Para mostrar que não há interseção, substituímos y = \frac{b}{a}x na equação da hipérbole:
\frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{\bigl(\frac{b}{a}x\bigr)^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{a^2} = 0.
Como isso não pode ser igual a 1, não existe ponto comum. O mesmo raciocínio vale para y=-\tfrac{b}{a}x.

Passo 4

Agora, considere uma reta paralela à assíntota y=\tfrac{b}{a}x, ou seja,
y = \frac{b}{a}x + k,\quad k\neq 0.
Substituindo na hipérbole:
\frac{x^2}{a^2} \;-\; \frac{\bigl(\tfrac{b}{a}x + k\bigr)^2}{b^2} = 1.
Desenvolvendo e simplificando dá
- \frac{2k}{ab}\,x \;-\; \frac{k^2}{b^2} \;-\; 1 = 0,
que é uma equação linear em x com exatamente uma solução:
x = -\frac{ab}{2k}\Bigl(1 + \frac{k^2}{b^2}\Bigr).
Substituindo esse x em y=\tfrac{b}{a}x+k obtemos o único ponto de interseção.

Resposta

A hipérbole \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 não intersecta suas assíntotas e qualquer reta paralela a uma delas a intercepta em exatamente um ponto.

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