5.Mostre que uma hipérbole não intersecta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a hipérbole
não intercepta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto. O conteúdo é geometria analítica, envolvendo equação de hipérbole e suas retas assintóticas.
não intercepta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto. O conteúdo é geometria analítica, envolvendo equação de hipérbole e suas retas assintóticas.
Passo 2
Identificamos as assíntotas da hipérbole canônica. São as retas
e
Passo 3
Para mostrar que não há interseção, substituímos
na equação da hipérbole:
Como isso não pode ser igual a
, não existe ponto comum. O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 4
Agora, considere uma reta paralela à assíntota
, ou seja,
Substituindo na hipérbole:
Desenvolvendo e simplificando dá
que é uma equação linear em
com exatamente uma solução:
Substituindo esse
em
obtemos o único ponto de interseção.
Resposta
A hipérbole
não intersecta suas assíntotas e qualquer reta paralela a uma delas a intercepta em exatamente um ponto.