Calcule os limites dos itens abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: é um único limite quando
tende a
. Não há outras condições (por exemplo, um dos lados). Vamos analisar o comportamento da expressão quando
, e se necessário também os limites laterais.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas que transformam a expressão em algo mais simples. Duas identidades úteis (válidas para todo
) são:
e
Explicando por que essas identidades valem: a segunda vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo
; tomando
obtemos
, daí
. A primeira vem da fórmula de seno do ângulo duplo
, novamente com
.
Passo 3
Substituindo essas expressões na fração original:
Agora simplificamos: o fator
cancela e uma cópia de
também cancela (desde que
, o que é legítimo ao considerar o limite), sobrando
Aqui usamos a definição
.
Passo 4
Reduzimos o problema a estudar
Façamos a substituição
. Quando
, temos
. Assim o limite passa a ser
Passo 5
Para entender o comportamento de
quando
usamos o limite fundamental
Breve justificativa dessa igualdade: para
próximo de
(em radianos) vale a desigualdade
para
; como
quando
, pelo teorema do confronto obtemos
. (O mesmo vale para
por paridade.)
Usando essa propriedade, observamos que
quando
(isto é,
), então
Isto mostra que
diverge quando
. Mais precisamente, fazendo análise de sinal:
- Se
então , e pequeno enquanto . Assim . - Se
então , e pequeno enquanto . Assim .
Passo 6
Conclusão: os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), portanto o limite bilateral
não existe como número finito; a expressão diverge trocando sinal conforme o lado de aproximação.
Resposta
O limite bilateral não existe;
.