Calcule os limites dos itens abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{1-\cos (x)}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}.
Informações dadas: é um único limite quando x tende a 0. Não há outras condições (por exemplo, um dos lados). Vamos analisar o comportamento da expressão quando x\to0, e se necessário também os limites laterais.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas que transformam a expressão em algo mais simples. Duas identidades úteis (válidas para todo x) são:
\sin(x)=2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)
e
1-\cos(x)=2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicando por que essas identidades valem: a segunda vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo \cos(2a)=1-2\sin^2(a); tomando a=\tfrac{x}{2} obtemos \cos(x)=1-2\sin^2(\tfrac{x}{2}), daí 1-\cos x=2\sin^2(\tfrac{x}{2}). A primeira vem da fórmula de seno do ângulo duplo \sin(2a)=2\sin a\cos a, novamente com a=\tfrac{x}{2}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração original:
\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \frac{2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Agora simplificamos: o fator 2 cancela e uma cópia de \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) também cancela (desde que x\neq0, o que é legítimo ao considerar o limite), sobrando
\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}=\frac{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}=\cot\!\left(\frac{x}{2}\right).
Aqui usamos a definição \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}.

Passo 4

Reduzimos o problema a estudar
\lim_{x\to0}\cot\!\left(\frac{x}{2}\right).
Façamos a substituição t=\dfrac{x}{2}. Quando x\to0, temos t\to0. Assim o limite passa a ser
\lim_{t\to0}\cot(t)=\lim_{t\to0}\frac{\cos t}{\sin t}.

Passo 5

Para entender o comportamento de \dfrac{\cos t}{\sin t} quando t\to0 usamos o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Breve justificativa dessa igualdade: para t próximo de 0 (em radianos) vale a desigualdade \cos t\le\frac{\sin t}{t}\le 1 para t>0; como \cos t\to1 quando t\to0, pelo teorema do confronto obtemos \frac{\sin t}{t}\to1. (O mesmo vale para t\to0^- por paridade.)
Usando essa propriedade, observamos que \tan t\sim t quando t\to0 (isto é, \lim_{t\to0}\dfrac{\tan t}{t}=1), então
\cot t=\frac{1}{\tan t}\sim\frac{1}{t}.
Isto mostra que \cot t diverge quando t\to0. Mais precisamente, fazendo análise de sinal:
  • Se x\to0^+ então t=\tfrac{x}{2}\to0^+, e \sin t>0 pequeno enquanto \cos t\approx1>0. Assim \cot t\to+\infty.
  • Se x\to0^- então t=\tfrac{x}{2}\to0^-, e \sin t<0 pequeno enquanto \cos t\approx1>0. Assim \cot t\to-\infty.

Passo 6

Conclusão: os limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), portanto o limite bilateral \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{1-\cos x} não existe como número finito; a expressão diverge trocando sinal conforme o lado de aproximação.

Resposta

O limite bilateral não existe; \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{1-\cos x}=-\infty,\\ \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{1-\cos x}=+\infty.

Exercícios relacionados