Obtenha o polinômio de Taylor da função
centrado em
. Desenvolva o polinômio até uma ordem suficientemente grande para que fique clara uma regra de formação.
Passo 1
O enunciado pede: obter o polinômio de Taylor (Maclaurin, pois o centro é
) da função
. Deve-se desenvolver até ordem suficiente para que fique clara uma regra de formação dos coeficientes.
Informações dadas:
- A função é
. - O centro é
. - Queremos vários termos (polinômios truncados) e a expressão geral que mostra o padrão dos coeficientes.
Passo 2
Lembrando a fórmula geral do desenvolvimento de Taylor centrado em
(Maclaurin): toda função suficientemente regular admite, formalmente,
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui
é o índice de somatório que percorre os expoentes das potências de
. Na prática, para funções envolvendo exponencial, é mais prático usar a série conhecida de
.
Passo 3
Fórmula básica que vamos usar: para qualquer número real (ou simbólico)
,
Neste problema faça a substituição
. Substituindo nessa série obtemos:
Passo 4
Agora desenvolve o termo geral: ao elevar
fica
. Portanto a série se escreve
Observações importantes a partir daqui:
- Só aparecem potências pares de
: . - O coeficiente do termo
é . - A série converge para todo
(raio de convergência infinito), porque vem da série de .
Passo 5
Para ficar óbvio como ficam os polinômios truncados (úteis na prova quando pedirem "polinômio de Taylor de ordem
"), escrevemos os primeiros termos explícitos. A partir da fórmula do passo anterior:
Cada coeficiente foi obtido aplicando
para
. Por exemplo:
- Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente . - Para
: coeficiente .
Passo 6
Se for pedido o polinômio de Taylor de ordem
(ou simplesmente de ordem
quando se conta em potências de
), basta truncar a série depois do termo
. Exemplo de polinômios truncados:
onde
significa o polinômio de Maclaurin até o termo
.]
Passo 7
Uma verificação alternativa (útil para a prova se começarem pedindo derivadas) é notar que todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em
são nulas:
. As derivadas de ordem par satisfazem uma fórmula consistente que produz exatamente os coeficientes acima; mas usar a expansão de
com
é a maneira mais rápida e segura em prova para obter o termo geral.
Passo 8
Resumo da regra prática para a prova (passo-a-passo curto que você pode repetir rapidamente):
- Reconheça
com . - Use
. - Substitua
e simplifique: cada termo fica . - Trunque para obter o polinômio de Taylor da ordem desejada.