Obtenha o polinômio de Taylor da função f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} centrado em x_{0}=0. Desenvolva o polinômio até uma ordem suficientemente grande para que fique clara uma regra de formação.

Passo 1

O enunciado pede: obter o polinômio de Taylor (Maclaurin, pois o centro é x_0=0) da função \,f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,. Deve-se desenvolver até ordem suficiente para que fique clara uma regra de formação dos coeficientes.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,.
  • O centro é \,x_{0}=0.
  • Queremos vários termos (polinômios truncados) e a expressão geral que mostra o padrão dos coeficientes.

Passo 2

Lembrando a fórmula geral do desenvolvimento de Taylor centrado em 0 (Maclaurin): toda função suficientemente regular admite, formalmente,
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0. Aqui k é o índice de somatório que percorre os expoentes das potências de x. Na prática, para funções envolvendo exponencial, é mais prático usar a série conhecida de e^{u}.

Passo 3

Fórmula básica que vamos usar: para qualquer número real (ou simbólico) u,
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Neste problema faça a substituição \,u=-\dfrac{x^{2}}{2}\,. Substituindo nessa série obtemos:
e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}.

Passo 4

Agora desenvolve o termo geral: ao elevar \left(-\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{n} fica (-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{2^{n}}. Portanto a série se escreve
e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!}\,x^{2n}.
Observações importantes a partir daqui:
  • Só aparecem potências pares de x: x^{0},x^{2},x^{4},\dots.
  • O coeficiente do termo x^{2n} é \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!}.
  • A série converge para todo x (raio de convergência infinito), porque vem da série de e^{u}.

Passo 5

Para ficar óbvio como ficam os polinômios truncados (úteis na prova quando pedirem "polinômio de Taylor de ordem m"), escrevemos os primeiros termos explícitos. A partir da fórmula do passo anterior:
e^{-\frac{x^{2}}{2}} =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{6}}{48}+\frac{x^{8}}{384}-\frac{x^{10}}{3840}+\cdots
Cada coeficiente foi obtido aplicando \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!} para n=0,1,2,\dots. Por exemplo:
  • Para n=0: coeficiente =\dfrac{(-1)^0}{2^0 0!}=1.
  • Para n=1: coeficiente =-\dfrac{1}{2}.
  • Para n=2: coeficiente =\dfrac{1}{2^2\cdot 2!}=\dfrac{1}{8}.
  • Para n=3: coeficiente =-\dfrac{1}{2^3\cdot 3!}=-\dfrac{1}{48}.

Passo 6

Se for pedido o polinômio de Taylor de ordem 2m (ou simplesmente de ordem m quando se conta em potências de x^{2}), basta truncar a série depois do termo x^{2m}. Exemplo de polinômios truncados:
\begin{aligned} P_{0}(x)&=1,\\[4pt] P_{2}(x)&=1-\dfrac{x^{2}}{2},\\[6pt] P_{4}(x)&=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{8},\\[6pt] P_{6}(x)&=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{8}-\dfrac{x^{6}}{48}, \end{aligned}
onde P_{2m}(x) significa o polinômio de Maclaurin até o termo x^{2m}.]

Passo 7

Uma verificação alternativa (útil para a prova se começarem pedindo derivadas) é notar que todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 são nulas: f^{(2n+1)}(0)=0. As derivadas de ordem par satisfazem uma fórmula consistente que produz exatamente os coeficientes acima; mas usar a expansão de e^{u} com u=-x^{2}/2 é a maneira mais rápida e segura em prova para obter o termo geral.

Passo 8

Resumo da regra prática para a prova (passo-a-passo curto que você pode repetir rapidamente):
  1. Reconheça f(x)=e^{u} com u=-x^{2}/2.
  2. Use e^{u}=\sum_{n=0}^\infty u^{n}/n!.
  3. Substitua u e simplifique: cada termo fica \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!}x^{2n}.
  4. Trunque para obter o polinômio de Taylor da ordem desejada.

Resposta

e^{-\dfrac{x^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\,n!}\,x^{2n}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{6}}{48}+\frac{x^{8}}{384}-\cdots

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