Utilizando as propriedades de limite, calcule: \lim _{(=, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}+2}
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}+2}.
Informações dadas e observações imediatas:
A função em questão é f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}+2}.
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
O denominador x^{2}+y^{2}+2 é sempre maior ou igual a 2 para todos os (x,y), ou seja, nunca é zero (isso evita problemas de divisão por zero).
Passo 2
Vou usar uma estratégia elementar e robusta: obter uma desigualdade que controle o valor absoluto da função e aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Escolhi esse método porque é direto, não exige conceitos avançados e funciona bem quando o denominador é limitado inferiormente (aqui por 2) e o numerador tende a 0.
Passo 3
Primeiro, lembro e demonstro uma desigualdade útil para números reais x e y:
|xy| \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Demonstração rápida: das identidades quadráticas temos
Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), como 0 \le \left|\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}+2}\right|\le algo que tende a 0, concluímos que
\left|\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+2}\right| \to 0,
o que implica
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+2} \to 0.
Passo 6
Comentário adicional (opcional, para você entender outra perspectiva): como o denominador em (0,0) vale 2\neq 0 e numerador em (0,0) vale 0, a função está definida em (0,0) e é razão de polinômios com denominador não nulo — logo contínua ali. Assim a substituição direta dá f(0,0)=0, confirmando o mesmo resultado.