Utilizando as propriedades de limite, calcule:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,2,6)}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).
Informações dadas:
\text{ponto de aproximação: }(x,y,z)\to(1,2,6).çã
\text{função: }f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.çã
Observação importante extraída do enunciado: os valores alvo são x=1, y=2 e z=6, e nenhum desses é zero, então não há problema imediato de divisão por zero no ponto que nos interessa.

Passo 2

Conceitos e propriedades de limite que vamos usar (explicados de forma clara):
  1. Propriedade da soma: se existem os limites \lim_{(x,y,z)\to a} g(x,y,z) e \lim_{(x,y,z)\to a} h(x,y,z), então
\lim_{(x,y,z)\to a} (g+h)=\lim_{(x,y,z)\to a} g + \lim_{(x,y,z)\to a} h.
Isto significa que podemos separar a soma em limites individuais e somar os resultados. É como dizer: aproximar a soma é o mesmo que somar as aproximações.
  1. Propriedade do quociente/recíproco: se \lim_{(x,y,z)\to a} g(x,y,z)=L e L\neq 0, então
\lim_{(x,y,z)\to a} \frac{1}{g(x,y,z)}=\frac{1}{L}.
Ou seja, o limite do recíproco é o recíproco do limite, desde que o limite não seja zero (para evitar divisão por zero).
  1. Função dependendo de uma única coordenada: se uma função depende só de x (ou só de y ou só de z), por exemplo h(x,y,z)=\varphi(x), então
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} h(x,y,z)=\lim_{x\to 1} \varphi(x),
porque mudar y e z perto de 2 e 6 não altera a parte que depende apenas de x.
Com essas propriedades, a estratégia é: calcular cada limite \lim 1/x, \lim 1/y, \lim 1/z e depois somá-los.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{x}.
Pelo item 3 acima, como \frac{1}{x} depende apenas de x,
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{x} = \lim_{x\to 1} \frac{1}{x}.
Agora aplicamos a propriedade do recíproco (item 2). A função x\mapsto x tem limite 1 quando x\to 1, e 1\neq 0, então
\lim_{x\to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{\lim_{x\to 1} x} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{y} e \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{z}.
Pela mesma razão do passo anterior:
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{y} = \lim_{y\to 2} \frac{1}{y} = \frac{1}{\lim_{y\to 2} y} = \frac{1}{2}.
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)} \frac{1}{z} = \lim_{z\to 6} \frac{1}{z} = \frac{1}{\lim_{z\to 6} z} = \frac{1}{6}.

Passo 5

Somar os limites individuais usando a propriedade da soma (item 1 do passo 2):
\lim_{(x,y,z)\to(1,2,6)}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}.
Agora fazemos a soma de frações passo a passo. Colocando tudo em denominador comum 6:
1=\frac{6}{6},\quad \frac{1}{2}=\frac{3}{6},\quad \frac{1}{6}=\frac{1}{6}.
\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6+3+1}{6}=\frac{10}{6}.
Simplificando a fração \frac{10}{6} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale \frac{5}{3}. Força — isso era só aplicar propriedades básicas de limites e avaliar os recíprocos no ponto.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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