Utilizando as propriedades de limite, calcule:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas:
Observação importante extraída do enunciado: os valores alvo são
,
e
, e nenhum desses é zero, então não há problema imediato de divisão por zero no ponto que nos interessa.
Passo 2
Conceitos e propriedades de limite que vamos usar (explicados de forma clara):
- Propriedade da soma: se existem os limites
e , então
Isto significa que podemos separar a soma em limites individuais e somar os resultados. É como dizer: aproximar a soma é o mesmo que somar as aproximações.
- Propriedade do quociente/recíproco: se
e , então
Ou seja, o limite do recíproco é o recíproco do limite, desde que o limite não seja zero (para evitar divisão por zero).
- Função dependendo de uma única coordenada: se uma função depende só de
(ou só de ou só de ), por exemplo , então
porque mudar
e
perto de
e
não altera a parte que depende apenas de
.
Com essas propriedades, a estratégia é: calcular cada limite
,
,
e depois somá-los.
Passo 3
Calcular
.
Pelo item 3 acima, como
depende apenas de
,
Agora aplicamos a propriedade do recíproco (item 2). A função
tem limite
quando
, e
, então
Passo 4
Calcular
e
.
Pela mesma razão do passo anterior:
Passo 5
Somar os limites individuais usando a propriedade da soma (item 1 do passo 2):
Agora fazemos a soma de frações passo a passo. Colocando tudo em denominador comum
:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale
. Força — isso era só aplicar propriedades básicas de limites e avaliar os recíprocos no ponto.