Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x^{3}-27}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x^{3}-27}
O conteúdo aqui é cálculo de limites de forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver vamos usar as propriedades de limites e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x=3:
x^{2}-9 = 3^{2}-9 = 9-9 = 0, \quad x^{3}-27 = 3^{3}-27 = 27-27 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, precisamos manipular algebricamente a expressão antes de aplicar o limite.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-9 = (x-3)(x+3), \quad x^{3}-27 = (x-3)(x^{2}+3x+9).
Como x\neq3 próximo ao ponto de interesse, podemos cancelar o fator comum (x-3):
\frac{x^{2}-9}{x^{3}-27} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^{2}+3x+9)} = \frac{x+3}{x^{2}+3x+9}.

Passo 4

Na forma simplificada a função é contínua em x=3, então podemos aplicar o limite diretamente ao quociente:
\lim_{x\to3}\frac{x+3}{x^{2}+3x+9} = \frac{3+3}{3^{2}+3\cdot3+9} = \frac{6}{9+9+9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}

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