Utilizando limites laterais, verifique se existem os limites a seguir. Caso o limite não exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x||x-3|}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede a avaliação de
\lim_{x\to 3}\frac{\lvert x\rvert\,\lvert x-3\rvert}{x-3}
usando limites laterais. Vamos precisar da definição de valor absoluto e do conceito de limite lateral: o limite existe se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita forem iguais.

Passo 2

Para x próximo de 3 (mas x\neq3), temos x>0, logo \lvert x\rvert = x. Assim
\frac{\lvert x\rvert\,\lvert x-3\rvert}{x-3} = x\;\frac{\lvert x-3\rvert}{x-3}.
Basta agora tratar \lvert x-3\rvert/(x-3) conforme o sinal de x-3.

Passo 3

Quando x>3, tem-se \lvert x-3\rvert = x-3. Então
f(x)=x\;\frac{x-3}{x-3}=x,
e
\lim_{x\to 3^+}f(x)=\lim_{x\to 3^+}x=3.

Passo 4

Quando x<3, tem-se \lvert x-3\rvert = 3-x. Então
f(x)=x\;\frac{3-x}{x-3} = x\;(-1)=-x,
e
\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}(-x)=-3.

Passo 5

Como
\lim_{x\to 3^-}f(x)=-3 \quad\neq\quad 3=\lim_{x\to 3^+}f(x),
os limites laterais são diferentes, logo o limite \lim_{x\to3}f(x) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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