Utilizando as propriedades dos limites, calcule, caso existam, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-x}{x-1}.
Percebemos que, ao substituir x=1, obtemos \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Para resolver esse tipo de indeterminação, vamos usar fatoração e propriedades de limites.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}-x extraindo o fator comum x:
x^{2}-x = x\,(x-1).

Passo 3

Substituindo na fração, temos, para x \neq 1,
\frac{x^{2}-x}{x-1} = \frac{x\,(x-1)}{x-1} = x.
Isso mostra que a expressão é igual a x sempre que x\neq1.

Passo 4

Como a função f(x)=x é contínua, podemos usar a propriedade de limites que diz que
\lim_{x \to 1} f(x) = f\bigl(\lim_{x \to 1} x\bigr).
Portanto,
\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-x}{x-1} = \lim_{x \to 1} x = 1.

Resposta

1

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