Utilizando a Regra da Cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=sen^3 x+cos ^3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sen^3x+cos^3x
usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia diz que, se temos uma função composta h(x)=[g(x)]^n, então
h'(x)=n,[g(x)]^n-1cdot g'(x)

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia ao primeiro termo sen^3x:
a “parte externa” é u^3 com u=senx, e a “parte interna” é senx.
Pelo enunciado:
ddxl(sen^3xr) =3,l(senxr)^2cdotddx(senx) =3,sin^2xcdotcos x

Passo 3

Agora ao segundo termo cos^3x:
a “parte externa” é v^3 com v=cos x, e a “parte interna” é cos x.
Logo:
ddxl(cos^3xr) =3,l(cos xr)^2cdotddx(cos x) =3,cos^2xcdot(-sin x) =-3,cos^2x,sin x

Passo 4

Somando as duas derivadas:
f'(x)=3,sin^2x,cos x-3,cos^2x,sin x
Podemos fatorar 3,sin x,cos x:
f'(x)=3,sin x,cos x,l(sin x-cos xr)

Resposta

f'(x)=3,sin^2x,cos x-3,cos^2x,sin x ou f'(x)=3,sin x,cos x,(sin x-cos x)

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