Q. 1(1,8). Julgue cada afirmativa em verdadeiro ou falso.
(a) Se uma função f muda de sinal quando x varia de um ponto x=a para o ponto x=b, então existirá, obrigatoriamente, um ponto entre a e b em que a função f se anula;
(a) Se a função fosse contínua no intervalo [a, b], pelo TVI garantiríamos a existência deste c in[a, b]. Como nada foi dito, a afirmativa é falsa. Como contra-exemplo temos a função f(x)=1x se x neq 0, com f(0)=2, a=-1 e b=1.
(b) Se lim x 2 3 x cdot f(x)-5x^2-4 x+4 é finito, então lim x 2 f(x) é igual a qualquer número;
(b) Falso. Como lim x 2 x^2-4 x+4=0, o limite lim x 2 3 x cdot f(x)-5x^2-4 x+4 será finito quando lim x 2 3 x cdot f(x)-5=0, donde lim x 2 f(x)=56;
(c) Se uma função f é negativa para todo número real não nulo, então lim x 0 f(x) é negativo.
(c) Falso. Talvez este limite nem exista, como é o caso se f(x)=-1, & x<0 1, & x=0 -2, & x>0.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeiro ou falso as três afirmações abaixo, envolvendo mudança de sinal de funções, existência de limite de quociente e comportamento de funções negativas perto de zero.
Para isso vamos usar:
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI) e hipótese de continuidade;
  • Condição para que um quociente tenha limite finito quando o denominador tende a zero;
  • Definição de limite e exemplo de função cujo limite não existe.

Passo 2

Análise da afirmação (a):
“Se uma função
Então , mas não existe com . Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação (b):
“Se limxto2dfrac3x,f(x)-5x^2-4x+4 é finito, então limxto2f(x) pode ser qualquer número.”
Note que
limxto2(x^2-4x+4)=2^2-8+4=0,
logo para o quociente ter limite finito é preciso que o numerador também tenda a zero:
limxto2l(3x,f(x)-5r)=0
Isso implica
3cdot2cdotlimxto2f(x)-5=0 Longrightarrow limxto2f(x)=56
Portanto não “pode ser qualquer número”, e sim é forçado a 5/6. A afirmação é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação (c):
“Se
Para , mas
,
logo o limite em zero não existe. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F

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