Q. . Julgue cada afirmativa em verdadeiro ou falso.
(a) Se uma função muda de sinal quando varia de um ponto para o ponto , então existirá, obrigatoriamente, um ponto entre e em que a função se anula;
(a) Se a função fosse contínua no intervalo , pelo TVI garantiríamos a existência deste . Como nada foi dito, a afirmativa é falsa. Como contra-exemplo temos a função se , com e .
(b) Se é finito, então é igual a qualquer número;
(b) Falso. Como , o limite será finito quando , donde ;
(c) Se uma função é negativa para todo número real não nulo, então é negativo.
(c) Falso. Talvez este limite nem exista, como é o caso se .
Passo 1
O enunciado pede para julgar como verdadeiro ou falso as três afirmações abaixo, envolvendo mudança de sinal de funções, existência de limite de quociente e comportamento de funções negativas perto de zero.
Para isso vamos usar:
Teorema do Valor Intermediário (TVI) e hipótese de continuidade;
Condição para que um quociente tenha limite finito quando o denominador tende a zero;
Definição de limite e exemplo de função cujo limite não existe.
Passo 2
Análise da afirmação (a):
“Se uma função
Então , mas não existe com . Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação (b):
“Se limxto2dfrac3x,f(x)-5x^2-4x+4 é finito, então limxto2f(x) pode ser qualquer número.”
Note que
limxto2(x^2-4x+4)=2^2-8+4=0,
logo para o quociente ter limite finito é preciso que o numerador também tenda a zero: