Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
usando a regra da cadeia.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é composta: um seno aplicado a
. - Quer-se
, a derivada em relação a .
Passo 2
Apresentando a regra da cadeia de forma clara. Se uma função é composição de duas funções, isto é, se
então a derivada é dada por
O que isso significa na prática:
-
é a função exterior (aquela aplicada por último); -
é a função interior (aquela aplicada primeiro); - primeiro deriva-se
em relação à sua variável (chamando-a de ), e depois substitui-se ; - multiplica-se pelo derivada de
em relação a .
Intuição rápida e informal: a taxa de variação total = (taxa de variação da camada externa em função da interna) × (taxa de variação da camada interna em função de
).
Passo 3
Identificar as funções interna e externa para o nosso caso:
- Função externa:
, onde é a variável intermediária. - Função interna:
.
Assim podemos escrever
com
.
Passo 4
Calcular as derivadas das partes:
- Derivada da função externa em relação a
: a derivada de é . Ou seja,
(Breve lembrete: a derivada do seno é o cosseno — é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.)
- Derivada da função interna em relação a
: é uma função linear, então
(Explicação rápida: derivada de
com
constante é
.)
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia:
Substituindo
com
e
, obtemos
Simplificando a ordem dos factores,
Dica para a prova: sempre identifique rapidamente “o que está por dentro” (aqui
) e escreva
. Para qualquer
o padrão é
.