Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
h(x)=\operatorname{sen}(4 x)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\operatorname{sen}(4 x) e pede para calcular a derivada de h usando a regra da cadeia.
Informações fornecidas:
  • A função é composta: um seno aplicado a 4x.
  • Quer-se h'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Apresentando a regra da cadeia de forma clara. Se uma função é composição de duas funções, isto é, se
h(x)=f(g(x)),
então a derivada é dada por
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
O que isso significa na prática:
  • f é a função exterior (aquela aplicada por último);
  • g é a função interior (aquela aplicada primeiro);
  • primeiro deriva-se f em relação à sua variável (chamando-a de u), e depois substitui-se u=g(x);
  • multiplica-se pelo derivada de g em relação a x.
Intuição rápida e informal: a taxa de variação total = (taxa de variação da camada externa em função da interna) × (taxa de variação da camada interna em função de x).

Passo 3

Identificar as funções interna e externa para o nosso caso:
  • Função externa: f(u)=\operatorname{sen}(u), onde u é a variável intermediária.
  • Função interna: g(x)=4x.
Assim podemos escrever h(x)=f(g(x)) com u=g(x)=4x.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes:
  • Derivada da função externa em relação a u: a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u). Ou seja,
f'(u)=\cos(u).
(Breve lembrete: a derivada do seno é o cosseno — é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.)
  • Derivada da função interna em relação a x: g(x)=4x é uma função linear, então
g'(x)=4.
(Explicação rápida: derivada de a x com a constante é a.)

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=\cos(u) com u=g(x)=4x e g'(x)=4, obtemos
h'(x)=\cos(4x)\cdot 4.
Simplificando a ordem dos factores,
h'(x)=4\cos(4x).
Dica para a prova: sempre identifique rapidamente “o que está por dentro” (aqui 4x) e escreva \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)\cdot \dfrac{du}{dx}. Para qualquer \operatorname{sen}(ax+b) o padrão é a\cos(ax+b).

Resposta

h'(x)=4\cos(4x)

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