Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
h(x)=\cos \left(a^{3}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\cos\!\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é uma composição de funções (tem um coseno aplicado a uma expressão).
  • a é um parâmetro (constante) e x é a variável independente.
  • A tarefa: encontrar h'(x), a derivada de h em relação a x.

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
Regra da cadeia (forma geral): se uma função é composta, isto é, se temos
y=f\bigl(g(x)\bigr),
então a derivada de y em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
O que isso quer dizer, em palavras simples:
  • Identifica-se a função externa f e a função interna g.
  • Deriva-se a função externa f em termos de sua variável interna (chamamos essa variável interna de u, por exemplo) e depois substitui-se u=g(x).
  • Multiplica-se pelo derivado da função interna g'(x).
Exemplo curto para fixar: se y=\sin(x^2), então a função externa é f(u)=\sin u e a função interna é g(x)=x^2. Como f'(u)=\cos u e g'(x)=2x, obtemos
\frac{dy}{dx}=\cos(x^2)\cdot 2x.
Isso é exatamente a regra da cadeia aplicada.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna no problema.
Para
h(x)=\cos\!\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr),
podemos definir:
  • função externa f(u)=\cos u, onde u representa a expressão interna;
  • função interna u(x)=a^{3}+x^{3}.
Aqui é importante notar que a^{3} é uma constante (não depende de x), e x^{3} depende de x.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes separadas.
  1. Derivada da função externa em relação à sua variável u:
f(u)=\cos u \quad\Rightarrow\quad f'(u)=-\sin u.
Explicação: a derivada de \cos é -\sin; essa é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.
  1. Derivada da função interna u(x) em relação a x:
u(x)=a^{3}+x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=0+3x^{2}=3x^{2}.
Explicação: a^{3} é constante então sua derivada é 0; a derivada de x^{3} é 3x^{2} pela regra do poder (regra do expoente): se x^{n}, então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: multiplicar a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
A derivada é dada por f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x). Substituindo f'(u)=-\sin u e u(x)=a^{3}+x^{3} e u'(x)=3x^{2}, obtém-se o resultado final que segue na seção de resposta.

Resposta

h'(x)=-3x^{2}\sin\!\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)

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