Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma composição de funções (tem um coseno aplicado a uma expressão).
-
é um parâmetro (constante) e é a variável independente. - A tarefa: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Conceito que precisamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
Regra da cadeia (forma geral): se uma função é composta, isto é, se temos
então a derivada de
em relação a
é dada por
O que isso quer dizer, em palavras simples:
- Identifica-se a função externa
e a função interna . - Deriva-se a função externa
em termos de sua variável interna (chamamos essa variável interna de , por exemplo) e depois substitui-se . - Multiplica-se pelo derivado da função interna
.
Exemplo curto para fixar: se
, então a função externa é
e a função interna é
. Como
e
, obtemos
Isso é exatamente a regra da cadeia aplicada.
Passo 3
Identificar as funções externa e interna no problema.
Para
podemos definir:
- função externa
, onde representa a expressão interna; - função interna
.
Aqui é importante notar que
é uma constante (não depende de
), e
depende de
.
Passo 4
Calcular as derivadas das partes separadas.
- Derivada da função externa em relação à sua variável
:
Explicação: a derivada de
é
; essa é uma regra básica de derivação de funções trigonométricas.
- Derivada da função interna
em relação a :
Explicação:
é constante então sua derivada é
; a derivada de
é
pela regra do poder (regra do expoente): se
, então
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia: multiplicar a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
A derivada é dada por
. Substituindo
e
e
, obtém-se o resultado final que segue na seção de resposta.