Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a raiz quadrada de uma expressão que depende de
. - Precisa-se de
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Ela diz que, se uma função é composta
, então a derivada é
Aqui
é a função exterior e
é a função interior. Em palavras: derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro como está, e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Identificar as funções interior e exterior para aplicar a regra da cadeia:
- Função exterior:
.
A derivada deem termos de é Explicando: para usa-se a regra do poder . - Função interior:
.
A derivada deé pois e a constante tem derivada .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia
:
Substituindo
e organizando:
Escrevendo com raiz quadrada para ficar mais legível:
Passo 5
Observação sobre domínio: a função original
está definida para valores de
tais que
, ou seja,
A derivada que obtivemos contém
no denominador, por isso
está bem definida nos pontos onde
, isto é, para
No ponto
a função existe (
) mas a derivada não é finita.