Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções abaixo.
h(x)=\sqrt{2-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\sqrt{2-e^{x}}.
Informações dadas:
  • A função é a raiz quadrada de uma expressão que depende de x.
  • Precisa-se de h'(x), a derivada de h em relação a x.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Ela diz que, se uma função é composta h(x) = f(g(x)), então a derivada é
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f é a função exterior e g é a função interior. Em palavras: derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro como está, e multiplicar pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Identificar as funções interior e exterior para aplicar a regra da cadeia:
  • Função exterior: f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
    A derivada de f em termos de u é f'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.Explicando: para u^{1/2} usa-se a regra do poder d(u^a)/du = a u^{a-1}.
  • Função interior: g(x)=2-e^{x}.
    A derivada de g é g'(x)=0-\frac{d}{dx}e^{x}=-e^{x},pois \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e a constante 2 tem derivada 0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x):
h'(x)=\frac{1}{2}\big(g(x)\big)^{-1/2}\cdot\big(-e^{x}\big).
Substituindo g(x)=2-e^{x} e organizando:
h'(x)=-\frac{e^{x}}{2\,(2-e^{x})^{1/2}}.
Escrevendo com raiz quadrada para ficar mais legível:
h'(x)=-\frac{e^{x}}{2\sqrt{2-e^{x}}}.

Passo 5

Observação sobre domínio: a função original h(x)=\sqrt{2-e^{x}} está definida para valores de x tais que 2-e^{x}\ge 0, ou seja,
e^{x}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad x\le \ln 2.
A derivada que obtivemos contém \sqrt{2-e^{x}} no denominador, por isso h'(x) está bem definida nos pontos onde 2-e^{x}>0, isto é, para
x<\ln 2.
No ponto x=\ln 2 a função existe ( h(\ln 2)=0) mas a derivada não é finita.

Resposta

h'(x)=-\frac{e^{x}}{2\sqrt{2-e^{x}}}

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